전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M75 kW, η = 95%cos φ = 0.85

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 75 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 95%, 역률은 0.85(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 75 kWη = 95%cos φ = 0.85VL = 415 V
IL = A
2.3상 전력어려움
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 150 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 150 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
11000 V400 VIHV​ = ?ILV​500 kVA

단상 500 kVA, 11000/400 V 변압기가 정격 부하로 운전 중이다. 이상 변압기로 본다. 고압 권선의 전류 IHV을(를) 구하시오.

S = 500 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
IHV = A
4.변압기어려움
pf 0.85500 kVA, η = 99%

단상 500 kVA 변압기의 철손은 2500 W이다. 정격 부하, 역률 0.85(지상)에서 효율은 99%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 500 kVAPcore = 2500 Wpf = 0.85η = 99%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
P = 18 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.9로 18 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 18 kWpf = 0.9V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 5 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 새 선전류 Inew을(를) 구하시오.

P = 5 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.교류 임피던스와 페이저보통
100 V60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µFI

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µF
cos φ =
8.교류 임피던스와 페이저어려움
24 V50 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 50 ΩC = 100 µF

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR1 = 25 ΩR2 = 50 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 1.2 V·s/rad인 직류 전동기가 110 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 110 Vk = 1.2 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
+−240 VD = ?Ra​ = 0.25 ΩM+−En = 500 rpmT = 4 N·m

DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 0.5 V·s/rad, Ra = 0.25 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 4 N·m에서 전동기를 500 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

Vdc = 240 Vk = 0.5 V·s/radRa = 0.25 ΩT = 4 N·mn = 500 rpm
D = %

3용액

1.3상 전력

답: IL = 129.2 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 75/0.95 = 78.95 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 78947/(√3·415·0.85) = 129.2 A

답

IL = 129.2 A
2.3상 전력

답: Cph = 496.6 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0.7) = 150·1.02 = 153 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 89.13 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 29710/(377·398.4²) = 496.6 µF

답

Cph = 496.6 µF
3.변압기

답: IHV = 45.45 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

정격 전류

두 권선은 같은 피상 전력을 전달합니다.

IHV = S/V = 500000/11000 = 45.45 A

답

IHV = 45.45 A
4.변압기

답: Pcu,fl = 1793 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

Pout = 500·0.85 = 425 kW
Pin = 425000/0.99 = 429293 W

전체 손실과 동손

Ploss = 429293 − 425000 = 4293 W
Pcu,fl = 4293 − 2500 = 1793 W

답

Pcu,fl = 1793 W
5.교류 전력과 역률

답: Q = 8.718 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.9) = 25.84°, tan φ = 0.4843

무효 전력

Q = P·tan φ = 18·0.4843 = 8.718 kvar

답

Q = 8.718 kvar
6.교류 전력과 역률

답: Inew = 22.64 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(53.13°) = 6.667 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(23.07°) = 2.13 kvar
QC = Q1 − Q2 = 4.537 kvar

새 선전류

Inew = P/(V·cos φ2) = 5000/(240·0.92) = 22.64 A

답

Inew = 22.64 A
7.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.8481

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = 37.7 Ω, XC = 56.44 Ω

임피던스

|Z| = √(30² + (−18.74)²) = 35.37 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 30/35.37 = 0.8481
회로가 용량성이므로 역률은 진상입니다.

답

cos φ = 0.8481
8.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 45.46 Ω

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 14.42 − j22.65 Ω

전체 임피던스

Z = 25 + 14.42 − j22.65 = 39.42 − j22.65 Ω
|Z| = √(39.42² + 22.65²) = 45.46 Ω

답

|Z| = 45.46 Ω
9.직류 전동기

답: n0 = 875.4 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 110/1.2 = 91.67 rad/s
n0 = 60·91.67/(2π) = 875.4 rpm

답

n0 = 875.4 rpm
10.직류 전동기

답: D = 11.74 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

필요한 전기자 전압

Va = 0.5·52.36 + 8·0.25 = 28.18 V

듀티비

D = 28.18/240 = 11.74 %

답

D = 11.74 %

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