전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 480 VIL​ = 10 Acos φ = 0.75지상

평형 3상 부하가 선간 전압 480 V의 전원에서 선전류 10 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.75(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 480 VIL = 10 Acos φ = 0.75
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 80 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
RL​ = 20 Ω41960 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 4:1인 이상 변압기의 1차 권선에 960 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 20 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 4:1V1 = 960 VRL = 20 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
pf 0.850 kVA, 25% 부하

단상 50 kVA 변압기의 철손은 400 W이고 정격 부하에서의 동손은 1600 W이다. 이 변압기가 정격 kVA의 25%를 역률 0.8(지상)로 공급한다. 이 부하에서의 전체 손실 Ploss을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 50 kVAPcore = 400 WPcu,fl = 1600 Wx = 0.25pf = 0.8
Ploss = W
5.교류 전력과 역률보통
P = 29 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.75로 29 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 29 kWpf = 0.75V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 240 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 25 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.9(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.

P = 25 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 5000 HzRL = 5 mHC = ?

L = 5 mH인 직렬 RLC 회로가 5000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 5000 HzL = 5 mH
C = µF
8.교류 임피던스와 페이저어려움
50 V200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

k = 0.8 N·m/A, Ra = 0.8 Ω인 직류 전동기를 240 V에 연결했습니다. 속도가 0일 때의 토크인 정지 토크 Tstall을(를) 구하시오.

V = 240 Vk = 0.8 N·m/ARa = 0.8 Ω
Tstall = N·m
10.직류 전동기어려움
+−240 VD = ?Ra​ = 0.8 ΩM+−En = 600 rpmT = 30 N·m

DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 1.5 V·s/rad, Ra = 0.8 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 30 N·m에서 전동기를 600 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

Vdc = 240 Vk = 1.5 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 30 N·mn = 600 rpm
D = %

3용액

1.3상 전력

답: P = 6.235 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·480·10 = 8.314 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 8.314·0.75 = 6.235 kW

답

P = 6.235 kW
2.3상 전력

답: Cph = 56.69 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0.78) = 80·0.8023 = 64.18 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 25.44 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 8479/(314.2·690²) = 56.69 µF

답

Cph = 56.69 µF
3.변압기

답: I1 = 3 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 960/4 = 240 V
I2 = 240/20 = 12 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/4 = 3 A

답

I1 = 3 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 320 Ω이고, 960/320도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: Ploss = 500 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

이 부하에서의 동손

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·1600 = 100 W

전체 손실

철손은 어떤 부하에서도 같습니다.

Ploss = 400 + 100 = 500 W

답

Ploss = 500 W

이 부하에서의 효율은 η = 95.24%입니다.

5.교류 전력과 역률

답: Q = 25.58 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819

무효 전력

Q = P·tan φ = 29·0.8819 = 25.58 kvar

답

Q = 25.58 kvar
6.교류 전력과 역률

답: QC = 9.94 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(41.41°) = 22.05 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.94 kvar

답

QC = 9.94 kvar
7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 0.2026 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.005) = 0.2026 µF

답

C = 0.2026 µF
8.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.4541 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (46.09)²) = 110.1 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/110.1 = 0.4541 A

답

I = 0.4541 A
9.직류 전동기

답: Tstall = 240 N·m

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

정지 전류

Ia = V/Ra = 240/0.8 = 300 A

정지 토크

Tstall = 0.8·300 = 240 N·m

답

Tstall = 240 N·m
10.직류 전동기

답: D = 45.94 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

필요한 전기자 전압

Va = 1.5·62.83 + 20·0.8 = 110.2 V

듀티비

D = 110.2/240 = 45.94 %

답

D = 45.94 %

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