전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 400 VZ = 7 + j24 Ω상당

상당 임피던스가 7 + j24 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 400 VZ = 7 + j24 Ω 상당
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 250 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 250 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
4800 V240 VIHV​ = ?ILV​15 kVA

단상 15 kVA, 4800/240 V 변압기가 정격 부하로 운전 중이다. 이상 변압기로 본다. 고압 권선의 전류 IHV을(를) 구하시오.

S = 15 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
IHV = A
4.변압기어려움
200 kVA

단상 200 kVA 변압기의 철손은 800 W이고 정격 부하에서의 동손은 1600 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 200 kVAPcore = 800 WPcu,fl = 1600 W
Sη,max = kVA
5.교류 전력과 역률보통
230 V123 kW, 0.7527 kW, 1I = ?

두 부하가 230 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.75의 23 kW 부하와 7 kW 히터(역률 1). 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 VP1 = 23 kW, pf1 = 0.75 지상P2 = 7 kW, pf2 = 1
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
230 V60 Hz부하17 kW, 0.8C220 µFI

단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.8로 17 kW를 소비한다. 220 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.

P = 17 kWpf1 = 0.8V = 230 Vf = 60 HzC = 220 µF
cos φ =
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 2000 HzRL = ?C = 1 µF

C = 1 µF인 직렬 RLC 회로가 2000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

f0 = 2000 HzC = 1 µF
L = mH
8.교류 임피던스와 페이저어려움
10 V50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF+−VC​

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF
VC = V
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.25 V·s/rad인 직류 전동기가 48 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 48 Vk = 0.25 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
+−220 VRa​ = 0.8 ΩM+−En = ?T = 30 N·m

타여자 직류 전동기(전 계자에서 k = 1 V·s/rad, Ra = 0.8 Ω, V = 220 V)가 일정한 부하 토크 30 N·m를 구동합니다. 계자 자속을 전체 값의 70 %로 줄입니다. 새 속도 n을(를) 구하시오.

V = 220 Vk = 1 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 30 N·mΦ = 70 %
n = rpm

3용액

1.3상 전력

답: P = 5.376 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = VL = 400 V

상전류

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 400/25 = 16 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·16²·7 = 5.376 kW

답

P = 5.376 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.28이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

2.3상 전력

답: Cph = 305.9 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0.8) = 250·0.75 = 187.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 66.42 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 22140/(314.2·480²) = 305.9 µF

답

Cph = 305.9 µF
3.변압기

답: IHV = 3.125 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

정격 전류

두 권선은 같은 피상 전력을 전달합니다.

IHV = S/V = 15000/4800 = 3.125 A

답

IHV = 3.125 A
4.변압기

답: Sη,max = 141.4 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·1600 = 800 → x = √(800/1600) = 0.7071

최대 효율에서의 부하

Sη,max = x·S = 0.7071·200 = 141.4 kVA

답

Sη,max = 141.4 kVA
5.교류 전력과 역률

답: I = 157.5 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q1 = 23·tan(arccos 0.75) = 20.28 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

합계

P = 23 + 7 = 30 kW
Q = 20.28 + 0 = 20.28 kvar
S = √(30² + 20.28²) = 36.21 kVA

전체 전류

I = S/V = 36214/230 = 157.5 A

답

I = 157.5 A
6.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.8973

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = 17·tan(arccos 0.8) = 12.75 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·220·10⁻⁶ = 4387 var = 4.387 kvar
Q2 = 12.75 − 4.387 = 8.363 kvar

새 피상 전력

S2 = √(17² + 8.363²) = 18.95 kVA

새 역률

cos φ = P/S2 = 17/18.95 = 0.8973

답

cos φ = 0.8973
7.교류 임피던스와 페이저

답: L = 6.333 mH

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·1·10⁻⁶) = 6.333 mH

답

L = 6.333 mH
8.교류 임피던스와 페이저

답: VC = 9.533 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−129)²) = 151.8 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/151.8 = 0.06589 A

커패시터 전압

VC = I·XC = 0.06589·144.7 = 9.533 V

답

VC = 9.533 V
9.직류 전동기

답: n0 = 1833 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 48/0.25 = 192 rad/s
n0 = 60·192/(2π) = 1833 rpm

답

n0 = 1833 rpm
10.직류 전동기

답: n = 2533 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

약해진 전동기 상수

k₂ = 0.7·1 = 0.7 V·s/rad

새 전기자 전류

Ia = 30/0.7 = 42.86 A

새 속도

ω = (220 − 42.86·0.8)/0.7 = 265.3 rad/s → n = 2533 rpm

답

n = 2533 rpm

계자 약화는 직류 구동 장치가 기저 속도 이상으로 운전하는 방법입니다.

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