3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 15 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 88%, 역률은 0.85(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 15 kWη = 88%cos φ = 0.85VL = 415 V
IL = A
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 200 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 10 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R1′을(를) 구하시오.
N1:N2 = 10:1RL = 10 Ω
R1′ = Ω
4.변압기어려움
단상 75 kVA 변압기의 철손은 600 W이고 정격 부하에서의 동손은 2400 W이다. 이 변압기가 정격 kVA의 25%를 역률 0.9(지상)로 공급한다. 이 부하에서의 전체 손실 Ploss을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 75 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 2400 Wx = 0.25pf = 0.9
Ploss = W
5.교류 전력과 역률보통
두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.65의 6 kW 부하와 진상 역률 0.85의 15 kW 부하. 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.
V = 400 VP1 = 6 kW, pf1 = 0.65 지상P2 = 15 kW, pf2 = 0.85 진상
cos φ =
6.교류 전력과 역률어려움
150 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.6의 33 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 150 kVAP1 = 33 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 22 µF
φ = °
8.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 100 V(실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 15 ΩR2 = 60 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.직류 전동기보통
직류 전동기(k = 0.3 V·s/rad, Ra = 0.4 Ω)가 120 V에서 동작합니다. 전부하에서 12 A를 끌어 씁니다. 무부하 전류를 무시하고 속도 변동률 SR = (n₀ − nFL)/nFL을(를) 퍼센트로 구하시오.
V = 120 Vk = 0.3 V·s/radRa = 0.4 ΩIFL = 12 A
SR = %
10.직류 전동기어려움
직류 전동기(k = 0.15 V·s/rad, Ra = 1 Ω)가 고정된 48 V 전원에서 0.6 N·m의 부하를 구동합니다. 속도를 1500 rpm으로 낮추는 직렬 저항 Rs을(를) 구하시오.
V = 48 Vk = 0.15 V·s/radRa = 1 ΩT = 0.6 N·mn = 1500 rpm
Rs = Ω
3용액
1.3상 전력
답: IL = 27.9 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 15/0.88 = 17.05 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 17045/(√3·415·0.85) = 27.9 A
답
IL = 27.9 A
2.3상 전력
답: Cph = 801.3 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0.78) = 200·0.8023 = 160.5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 119.8 kvar
상당 정전 용량
Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.
V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39948/(314.2·398.4²) = 801.3 µF
답
Cph = 801.3 µF
3.변압기
답: R1′ = 1000 Ω
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
환산 저항
전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.
R1′ = a²·RL = 10²·10 = 1000 Ω
답
R1′ = 1000 Ω
4.변압기
답: Ploss = 750 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
이 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·2400 = 150 W
전체 손실
철손은 어떤 부하에서도 같습니다.
Ploss = 600 + 150 = 750 W
답
Ploss = 750 W
이 부하에서의 효율은 η = 95.74%입니다.
5.교류 전력과 역률
답: cos φ = 0.9942
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
각 부하의 무효 전력
지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).
Q1 = 6·tan(arccos 0.65) = 7.015 kvar
Q2 = −15·tan(arccos 0.85) = −9.296 kvar
합계
P = 6 + 15 = 21 kW
Q = 7.015 + (−9.296) = −2.281 kvar
S = √(21² + (−2.281)²) = 21.12 kVA
전체 역률
cos φ = P/S = 21/21.12 = 0.9942 진상
답
cos φ = 0.9942
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 110.4 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 33·tan(arccos 0.6) = 44 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 44²) = 143.4 kW
추가 유효 전력
ΔP = 143.4 − 33 = 110.4 kW
답
ΔP = 110.4 kW
7.교류 임피던스와 페이저
답: φ = −54.71 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−113)²) = 138.5 Ω
위상각
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−113/80) = −54.71°
답
φ = −54.71°
8.교류 임피던스와 페이저
답: |Z| = 24.08 Ω
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 3.944 − j14.87 Ω
전체 임피던스
Z = 15 + 3.944 − j14.87 = 18.94 − j14.87 Ω
|Z| = √(18.94² + 14.87²) = 24.08 Ω
답
|Z| = 24.08 Ω
9.직류 전동기
답: SR = 4.167 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
무부하 속도와 전부하 속도
n₀ = 60·120/(2π·0.3) = 3820 rpm
nFL = 60·(120 − 12·0.4)/(2π·0.3) = 3667 rpm
속도 변동률
SR = (3820 − 3667)/3667·100 = 4.167 %
답
SR = 4.167 %
10.직류 전동기
답: Rs = 5.11 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전류와 역기전력
Ia = 0.6/0.15 = 4 A
E = 0.15·157.1 = 23.56 V
직렬 저항
Ra + Rs = (48 − 23.56)/4 = 6.11 Ω
Rs = 5.11 Ω
답
Rs = 5.11 Ω
저항기는 81.75 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
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