심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

평균 50에 대한 95% 신뢰구간이 46에서 54입니다. 가장 정확한 해석은 무엇입니까?

A표본 참가자의 95%가 그 측정에서 46에서 54 사이의 점수를 받았다
B표본 평균이 50일 확률이 95%이다
C결과가 유의하지 않다
D사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

2.심리학 연구 방법어려움

실험에서 참가자를 조건에 무선 배정하는 주된 목적은 무엇입니까?

A참가자가 목적을 모르게 하는 것
B결과를 일반화할 수 있도록 표본이 목표 모집단을 대표하게 하는 것
C참가자 변수를 고르게 분배해 결과를 혼입시키지 않게 하는 것
D응답률을 높이는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 58, 42, 19, 37, 10, 60, 51.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 185점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 10x = 185

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 6번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 6

P =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.1로 €50을, 확률 0.05로 €200을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€50: p = 0.1€200: p = 0.05

E(G) = €

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.1379이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.1379

z =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 10%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 50대, 평균 147.5 h, 알려진 표준 편차 8 h. 모델 2: 휴대전화 30대, 평균 157 h, 알려진 표준 편차 19 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 50x̄₁ = 147.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 30x̄₂ = 157 hσ₂ = 19 h99%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 10.3 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.

n = 21s = 10.3 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 197.3, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 197.3s = 15n = 25

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 499.5입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 499.5σ = 4n = 8190%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 13)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(7, 13)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

이것이 답인 이유

95% 신뢰구간은 모집단 모수에 대해 그럴듯한 값의 범위를 제시합니다. 더 큰 표본에서 얻은 더 좁은 구간은 더 정밀한 추정을 뜻합니다.

답

D · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

2.심리학 연구 방법

답: C · 참가자 변수를 고르게 분배해 결과를 혼입시키지 않게 하는 것

이것이 답인 이유

무선 배정은 조건 간 개인차를 균형 있게 만들어 인과적 결론을 뒷받침합니다. 무선 표집은 모집단으로의 일반화와 관련됩니다.

답

C · 참가자 변수를 고르게 분배해 결과를 혼입시키지 않게 하는 것

3.기술통계

답: s = 19.14

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 277/7 = 39.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 18.43² + 2.429² + (−20.57)² + (−2.571)² + (−29.57)² + 20.43² + 11.43² = 2198

표준편차

s = √(2198/6) = 19.14

답

s = 19.14

4.기술통계

답: z = 1.5

표준화하기

z = (185 − 170)/10 = 1.5

답

z = 1.5

5.확률

답: P = 0.6651

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

답

P = 0.6651

6.확률

답: E(G) = 5 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 40 (p = 0.1), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.85)

기댓값

E(G) = 40·0.1 + 190·0.05 − 10·0.85 = 5 €

답

E(G) = 5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: z = 1.09

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.1379 = 0.8621

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8621을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.09

답

z = 1.09

8.정규분포

답: x = 187 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.9

표에서 구한 z

z ≈ 1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 1.28·7 = 187 cm

답

x = 187 cm

9.신뢰구간

답: 하한 = −18.9 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 147.5 − 157 = −9.5

표준오차

SE = √(8²/50 + 19²/30) = 3.649

오차 한계

E = 2.576·3.649 = 9.399

구간

−9.5 ± 9.399 → [−18.9, −0.1008]

답

하한 = −18.9 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: σ = 14.87 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 20·10.3² = 2122

σ²의 한계

2122/34.17 = 62.1

2122/9.591 = 221.2

σ의 한계

σ = √221.2 = 14.87 µm

답

σ = 14.87 µm

σ의 95% 구간: [7.88, 14.87] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.9

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

검정통계량

t = (197.3 − 200)/3 = −0.9

답

t = −0.9

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 498.8

오차 한계

E = 1.645·4/√81 = 0.7311

구간 끝값

L = 499.5 − 0.7311 = 498.8

답

L = 498.8

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9805

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 173.3

상관계수

r = −54/√(17.5·173.3) = −0.9805

답

r = −0.9805

14.선형 회귀와 상관

답: e = 2.4

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 44/5 = 8.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

회귀직선

b = 72/40 = 1.8

a = 8.8 − 1.8·6 = −2

ŷ = −2 + 1.8·x

예측값

ŷ = −2 + 1.8·7 = 10.6

잔차

e = 13 − 10.6 = 2.4

답

e = 2.4

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 20.42

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 120·54/180 = 36, 120·54/180 = 36, 120·72/180 = 48

야간 근무: 60·54/180 = 18, 60·54/180 = 18, 60·72/180 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (49 − 36)²/36 + (29 − 36)²/36 + (42 − 48)²/48 + (5 − 18)²/18 + (25 − 18)²/18 + (30 − 24)²/24

χ² = 20.42

답

χ² = 20.42

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 27.31

기대 도수

공장 A: 50, 50

공장 B: 40, 40

공장 C: 30, 30

카이제곱 통계량

χ² = (34 − 50)²/50 + (66 − 50)²/50 + (40 − 40)²/40 + (40 − 40)²/40 + (46 − 30)²/30 + (14 − 30)²/30

χ² = 27.31

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

27.31 > 5.991

답

χ² = 27.31

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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