심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

새로운 우울 설문지가 다음 1년 동안 어떤 학생이 치료를 받을지 예측합니다. 이것은 어떤 유형의 타당도를 지지합니까?

A예측 타당도
B공인 타당도
C안면 타당도
D내용 타당도

2.심리학 연구 방법어려움

두 관찰자가 놀이터에서 공격 행동을 기록하고 그들의 횟수가 r = 0.45로 상관됩니다. 연구자는 어떻게 해야 합니까?

A어떤 정적 상관이든 충분하므로 자료를 받아들인다
B두 횟수 중 더 높은 것만 사용한다
C행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다
D단측 가설로 바꾼다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 13, 38, 47, 17, 15, 42.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 50보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 5x = 50

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.2, 0.2

Var(X) =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.25로 €5을, 확률 0.02로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €1€5: p = 0.25€20: p = 0.02

E(G) = €

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 70.75에서 115 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 70.75x₂ = 115

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 25%가 그 아래에 있는 값 x(25 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 144 h, 알려진 표준 편차 12 h. 모델 2: 휴대전화 60대, 평균 141.5 h, 알려진 표준 편차 16 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 144 hσ₁ = 12 hn₂ = 60x̄₂ = 141.5 hσ₂ = 16 h90%

E = h

10.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.15이(가) 불량이다. 비율에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.15E = 0.0590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 48.96, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 48.96s = 4n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 1.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 7일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 7

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 결함 없음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 84열 합계 = 53N = 145

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 예측 타당도

이것이 답인 이유

점수가 나중의 준거를 예측할 때 예측 타당도가 입증됩니다. 공인 타당도는 같은 시점에 측정한 준거를 사용합니다.

답

A · 예측 타당도

2.심리학 연구 방법

답: C · 행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다

이것이 답인 이유

낮은 관찰자 간 신뢰도는 범주가 일관되게 적용되지 않는다는 뜻입니다. 본 자료 수집 전에 더 명확한 조작적 정의와 연습 회기로 일치도를 높여야 합니다.

답

C · 행동 범주를 다듬고 관찰자를 훈련한 뒤 일치도를 다시 확인한다

3.기술통계

답: s = 17.59

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 229/7 = 32.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 24.29² + (−19.71)² + 5.286² + 14.29² + (−15.71)² + (−17.71)² + 9.286² = 1857

표준편차

s = √(1857/6) = 17.59

답

s = 17.59

4.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

5.확률

답: Var(X) = 1.288

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.2 = 1.25

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.2 = 2.85

분산

Var(X) = 2.85 − 1.25² = 1.288

답

Var(X) = 1.288

6.확률

답: E(G) = 0.65 €

순 결과

G: 4 (p = 0.25), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.73)

기댓값

E(G) = 4·0.25 + 19·0.02 − 1·0.73 = 0.65 €

답

E(G) = 0.65 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.8158

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (70.75 − 100)/15 = −1.95

z₂ = (115 − 100)/15 = 1

사이의 넓이

P = Φ(1) − Φ(−1.95) = 0.8413 − 0.02559 = 0.8158

답

P = 0.8158

8.정규분포

답: x = 173.3 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

다시 x로

x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm

답

x = 173.28 cm

9.신뢰구간

답: E = 4.614 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 144 − 141.5 = 2.5

표준오차

SE = √(12²/40 + 16²/60) = 2.805

오차 한계

E = 1.645·2.805 = 4.614

답

E = 4.614 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: n = 139

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.645²·0.15·0.85/0.05² = 138

올림하기

n = 139

답

n = 139

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.6

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

검정통계량

t = (48.96 − 50)/0.4 = −2.6

답

t = −2.6

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 48

n에 대해 풀기

n = (2.576·4/1.5)² = 47.19

올림하기

n = 48

답

n = 48

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.988

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 659/5 = 131.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2823

상관계수

r = 498/√(90·2823) = 0.988

답

r = 0.988

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 26.5

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 159/6 = 26.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

회귀직선

b = 261/70 = 3.729

a = 26.5 − 3.729·7 = 0.4

ŷ = 0.4 + 3.729·x

예측

ŷ = 0.4 + 3.729·7 = 26.5

답

ŷ = 26.5

15.카이제곱 검정

답: E = 30.7

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 84·53/145 = 30.7

답

E = 30.7

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 16.81

자유도

df = 8 − 1 − 1 = 6

표

χ²_crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

답

χ²_crit = 16.812

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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