심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

조작적 정의(조작화)란 무엇입니까?

A변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것
B통계 검정을 선택하는 것
C참가자에게 지시를 주는 것
D병원 같은 실제 현장에서 연구를 수행하는 것

2.심리학 연구 방법어려움

공부 시간과 수면으로 시험 점수를 예측하는 다중회귀에서 R² = 0.36입니다. 이것은 무엇을 뜻합니까?

A예측변수 간의 상관이 0.36이다
B학생의 36%가 시험에 합격했다
C공부 시간이 시험 성공의 36%를 일으킨다
D예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 31, 42, 17, 11, 34, 34.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 78보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 20x = 78

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.3, 0.25

σ =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 10X + 5입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.1, 0.25Y = 10X + 5

σ_Y =

7.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 12개의 총 질량이 303.5 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 303.5 kg

P =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.04 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 93 h, 알려진 표준 편차 3 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 95 h, 알려진 표준 편차 19 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 80x̄₁ = 93 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 95 hσ₂ = 19 h95%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 35입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 35E = 0.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 10명, 평균 점수 109, 표준 편차 5. 집단 2: 학생 6명, 평균 점수 104.5, 표준 편차 4.5. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 10x̄₁ = 109s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 104.5s₂ = 4.5

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 20로 알려져 있다. 실제 평균은 46.6이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 46.6σ = 20n = 100α = 0.01

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (19.5, 106)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(19.5, 106)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 높음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 89열 합계 = 56N = 161

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것

이것이 답인 이유

변수를 조작화하면 추상적인 개념이 구체적인 측정으로 바뀌어 연구를 반복할 수 있게 됩니다.

답

A · 변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것

2.심리학 연구 방법

답: D · 예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다

이것이 답인 이유

R²는 결과의 변산 중 모든 예측변수가 함께 설명하는 양을 보여 줍니다. 인과관계를 확립하지는 않습니다.

답

D · 예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다

3.기술통계

답: s = 11.72

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 169/6 = 28.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 2.833² + 13.83² + (−11.17)² + (−17.17)² + 5.833² + 5.833² = 686.8

표준편차

s = √(686.8/5) = 11.72

답

s = 11.72

4.기술통계

답: P = 0.6554

표준화하기

z = 0.4

표준정규분포표

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

답

P = 0.6554

5.확률

답: σ = 1.162

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.25 = 1.5

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.25 = 3.6

분산

Var(X) = 3.6 − 1.5² = 1.35

σ = √1.35 = 1.162

답

σ = 1.162

6.확률

답: σ_Y = 11.45

X의 퍼짐

μ = 2.3, Var(X) = 1.31, σ_X = 1.145

일차 변환

σ_Y = |10|·1.145 = 11.45

답

σ_Y = 11.45

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 10·2.3 + 5 = 28.

7.정규분포

답: P = 0.9783

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

표준화하기

z = (303.5 − 300)/1.732 = 2.02

확률

P = Φ(2.02) = 0.9783

답

P = 0.9783

8.정규분포

답: P = 0.9868

차의 분포

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

표준화하기

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

확률

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

답

P = 0.9868

9.신뢰구간

답: 상한 = 3.925 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 93 − 95 = −2

표준오차

SE = √(3²/80 + 19²/40) = 3.023

오차 한계

E = 1.96·3.023 = 5.925

구간

−2 ± 5.925 → [−7.925, 3.925]

답

상한 = 3.925 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: n = 13260

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·35/0.5)² = 13260

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 13260

답

n = 13260

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.805

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (9·5² + 5·4.5²)/14 = 23.3

s_p = 4.827

표준오차

SE = 4.827·√(1/10 + 1/6) = 2.493

검정통계량

t = (109 − 104.5)/2.493 = 1.805

답

t = 1.805

df = 14에서 양측 5% 임곗값은 2.145입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 26.57 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 50 − 2.326·2 = 45.35

참 평균에서의 z

z = (45.35 − 46.6)/2 = −0.626

전력

검정력 = P(Z < −0.626) = 26.57%

1 − β = 26.57%

답

1 − β = 26.57%

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.8964

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 365/6 = 60.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 392.8

결정계수

r² = 78.5²/(17.5·392.8) = 0.8964

답

r² = 0.8964

y의 변동 중 약 89.64%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 4.786

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 723/6 = 120.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 1013

회귀직선

b = 1013/157.5 = 6.429

a = 120.5 − 6.429·22.5 = −24.14

ŷ = −24.14 + 6.429·x

예측값

ŷ = −24.14 + 6.429·19.5 = 101.2

잔차

e = 106 − 101.2 = 4.786

답

e = 4.786

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 30.96

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 89·56/161 = 30.96

답

E = 30.96

16.카이제곱 검정

답: χ² = 7.143

기대 도수

1라인: 42, 18

2라인: 56, 24

3라인: 28, 12

카이제곱 통계량

χ² = (36 − 42)²/42 + (24 − 18)²/18 + (56 − 56)²/56 + (24 − 24)²/24 + (34 − 28)²/28 + (6 − 12)²/12

χ² = 7.143

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

7.143 > 5.991

답

χ² = 7.143

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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