심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

한 학생이 평균 100, 표준편차 15인 검사에서 130점을 받았습니다. z점수는 얼마입니까?

A2.0
B0.5
C1.5
D3.0

2.심리학 연구 방법어려움

주제 분석에서 분석자가 주로 하는 일은 무엇입니까?

A단어 빈도만 센다
B질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다
C수치적 가설을 검정한다
D각 주제의 평균 점수를 계산하여 통계적으로 비교한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 42, 13, 22, 20, 33, 56, 59.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 536점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 60x = 536

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 8번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 8

P =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 4입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.05, 0.2, 0.05, 0.35Y = 2X + 4

σ_Y =

7.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 25.1에서 33.2 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 25.1x₂ = 33.2

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 95%

x = 점

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 109.5 h, 알려진 표준 편차 20 h. 모델 2: 휴대전화 50대, 평균 103 h, 알려진 표준 편차 6 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 109.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 50x̄₂ = 103 hσ₂ = 6 h99%

E = h

10.신뢰구간어려움

불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.02이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p = 0.5E = 0.0299%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 72.43, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 72.43s = 10n = 49

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ > 200의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 25로 알려져 있다. 실제 평균은 207이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 207σ = 25n = 100α = 0.01

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 4.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 11개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 11

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 2.0

이것이 답인 이유

(130 − 100) / 15 = 2. 이 점수는 평균보다 2 표준편차 높으며, 약 97–98%의 사람보다 높습니다.

답

A · 2.0

2.심리학 연구 방법

답: B · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

이것이 답인 이유

주제 분석은 자료에 익숙해지기, 부호화, 주제 생성·검토·명명, 보고서 작성으로 이루어지며 통계보다 의미에 초점을 둡니다.

답

B · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

3.기술통계

답: s = 18.02

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 245/7 = 35

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7² + (−22)² + (−13)² + (−15)² + (−2)² + 21² + 24² = 1948

표준편차

s = √(1948/6) = 18.02

답

s = 18.02

4.기술통계

답: z = 0.6

표준화하기

z = (536 − 500)/60 = 0.6

답

z = 0.6

5.확률

답: P = 0.7674

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

답

P = 0.7674

6.확률

답: σ_Y = 3.406

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 3, Var(X) = 2.9, σ_X = 1.703

일차 변환

σ_Y = |2|·1.703 = 3.406

답

σ_Y = 3.406

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·3 + 4 = 10.

7.정규분포

답: P = 0.4542

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15

z₂ = (33.2 − 32)/6 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1.15) = 0.5793 − 0.1251 = 0.4542

답

P = 0.4542

8.정규분포

답: x = 124.7 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 점

답

x = 124.67 점

9.신뢰구간

답: E = 8.434 h

차의 구간: 추정값 ± 임곗값 × 표준 오차. σ를 아는 독립 두 평균: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)와 z. 미지의 분산이 같으면: 합동 s_p와 자유도 n₁ + n₂ − 2의 t. 대응 자료는 차이로 계산합니다: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 109.5 − 103 = 6.5

표준오차

SE = √(20²/40 + 6²/50) = 3.274

오차 한계

E = 2.576·3.274 = 8.434

답

E = 8.434 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: n = 4148

비율의 신뢰구간: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), p̂ = x/n. 오차 한계 E에 도달하려면 n ≥ z²·p(1 − p)/E²이 필요하며 올림합니다. 사전 추정값이 없으면 n이 가장 커지는 p = 0.5를 씁니다.

n에 대해 풀기

n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147

올림하기

n = 4148

답

n = 4148

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.799

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√49 = 10/7 = 1.429

검정통계량

t = (72.43 − 75)/1.429 = −1.799

답

t = −1.799

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 68.23 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 25/√100 = 2.5

x̄_c = 200 + 2.326·2.5 = 205.8

참 평균에서의 z

z = (205.8 − 207)/2.5 = −0.474

전력

검정력 = P(Z > −0.474) = 68.23%

1 − β = 68.23%

답

1 − β = 68.23%

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9934

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 286/5 = 57.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 510.8

상관계수

r = 142/√(40·510.8) = 0.9934

답

r = 0.9934

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 16.32

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 112/6 = 18.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

회귀직선

b = −41/17.5 = −2.343

a = 18.67 − (−2.343)·3.5 = 26.87

ŷ = 26.87 − 2.343·x

예측

ŷ = 26.87 + (−2.343)·4.5 = 16.32

답

ŷ = 16.32

15.카이제곱 검정

답: χ² = 14.85

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

교직원: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

카이제곱 통계량

χ² = (10 − 12)²/12 + (43 − 32)²/32 + (27 − 36)²/36 + (11 − 9)²/9 + (13 − 24)²/24 + (36 − 27)²/27

χ² = 14.85

답

χ² = 14.85

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 10

자유도

df = 11 − 1 = 10

답

df = 10

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