기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
상관에서 r = 0.40입니다. 한 변수의 분산 중 다른 변수와 공유되는 비율은 얼마입니까?
- A16%
- B40%
- C4%
- D60%
2.심리학 연구 방법어려움
질적 연구에서 성찰성(reflexivity)이란 연구자가 무엇을 하는 것입니까?
- A편향을 없애기 위해 무선 표본을 사용한다
- B신뢰도를 확인하기 위해 연구를 반복한다
- C자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다
- D주제를 수치 자료로 바꾼다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 15, 50, 29, 12, 31.
n = 6
s =
4.기술통계어려움
어떤 양은 평균 100, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 92보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 100σ = 10x = 92
P =
5.확률보통
공정한 주사위를 2번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?
n = 2
P =
6.확률어려움
X의 분포가 표와 같고 Y = 0.5X + 4입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 4
σY =
7.정규분포보통
봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 250.25에서 255.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 250σ = 5x1 = 250.25x2 = 255.25
P =
8.정규분포어려움
주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.신뢰구간보통
항목 21개의 표본 평균은 18, 표준편차는 s = 6입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
n = 21x̄ = 18s = 695%t(20) = 2.086
하한 =
10.신뢰구간어려움
모표준편차는 35입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 35E = 199%
n =
11.가설 검정과 신뢰구간보통
두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 8명, 평균 점수 117.5, 표준 편차 12. 집단 2: 학생 14명, 평균 점수 128.1, 표준 편차 3. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
n₁ = 8x̄₁ = 117.5s₁ = 12n₂ = 14x̄₂ = 128.1s₂ = 3
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 100 대 H₁: μ > 100의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 12.5로 알려져 있다. 실제 평균은 107.75이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 100μ = 107.75σ = 12.5n = 25α = 0.10
1 − β = %
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 62)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(7, 62)
e =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 자동차”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.
행 합계 = 97열 합계 = 64N = 202
E =
16.카이제곱 검정어려움
카이제곱 적합도 검정으로 5개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?
k = 5
df =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: A · 16%
이것이 답인 이유
결정계수는 r²이며 여기서는 0.40² = 0.16이므로 분산의 16%가 공유됩니다.
답
A · 16%
2.심리학 연구 방법
답: C · 자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다
이것이 답인 이유
성찰성은 자료 수집과 해석에 대한 연구자의 영향을 인정하는 것이며, 질적 연구의 핵심 질 기준입니다.
답
C · 자신의 배경과 가정이 분석을 어떻게 형성할 수 있는지 성찰한다
3.기술통계
답: s = 15.53
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 183/6 = 30.5
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 15.5² + (−15.5)² + 19.5² + (−1.5)² + (−18.5)² + 0.5² = 1206
표준편차
s = √(1206/5) = 15.53
답
s = 15.53
4.기술통계
답: P = 0.2119
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −0.8
표준정규분포표
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119
답
P = 0.2119
5.확률
답: P = 0.3056
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
여사건
P(6이 안 나옴) = (5/6)2 = 0.6944
P = 1 − 0.6944 = 0.3056
답
P = 0.3056
6.확률
답: σY = 0.4023
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
X의 퍼짐
μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
일차 변환
σY = |0.5|·0.8047 = 0.4023
답
σY = 0.4023
평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 0.5·0.95 + 4 = 4.475.
7.정규분포
답: P = 0.3332
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05
z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05
사이의 넓이
P = Φ(1.05) − Φ(0.05) = 0.8531 − 0.5199 = 0.3332
답
P = 0.3332
8.정규분포
답: P = 0.7881
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
표준화하기
z = (0 − 4)/5 = −0.8
확률
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
답
P = 0.7881
9.신뢰구간
답: 하한 = 15.27
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 20, t = 2.086
오차 한계
E = 2.086·6/√21 = 2.731
구간
18 ± 2.731 → [15.27, 20.73]
답
하한 = 15.27
10.신뢰구간
답: n = 8129
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·35/1)² = 8129
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 8129
답
n = 8129
11.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −3.189
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
합동 분산
sp² = (7·12² + 13·3²)/20 = 56.25
sp = 7.5
표준오차
SE = 7.5·√(1/8 + 1/14) = 3.324
검정통계량
t = (117.5 − 128.1)/3.324 = −3.189
답
t = −3.189
df = 20에서 양측 5% 임곗값은 2.086입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: 1 − β = 96.55 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 12.5/√25 = 2.5
x̄c = 100 + 1.282·2.5 = 103.2
참 평균에서의 z
z = (103.2 − 107.75)/2.5 = −1.818
전력
검정력 = P(Z > −1.818) = 96.55%
1 − β = 96.55%
답
1 − β = 96.55%
13.선형 회귀와 상관
답: r = −0.9615
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 122/5 = 24.4
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 21.2
상관계수
r = −14/√(10·21.2) = −0.9615
답
r = −0.9615
14.선형 회귀와 상관
답: e = −4.333
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 398/6 = 66.33
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 344
회귀직선
b = 344/70 = 4.914
a = 66.33 − 4.914·7 = 31.93
ŷ = 31.93 + 4.914·x
예측값
ŷ = 31.93 + 4.914·7 = 66.33
잔차
e = 62 − 66.33 = −4.333
답
e = −4.333
점이 직선 아래쪽에 있습니다.
15.카이제곱 검정
답: E = 30.73
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
E = 97·64/202 = 30.73
답
E = 30.73
16.카이제곱 검정
답: df = 3
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = 5 − 1 − 1 = 3
답
df = 3
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