심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

검사가 너무 쉬워 거의 모든 참가자가 최고점 가까이 받습니다. 이것을 무엇이라고 합니까?

A연습 효과
B바닥 효과
C천장 효과
D순서 효과

2.심리학 연구 방법어려움

어떤 연구에서 잠을 더 많이 자는 학생이 성적이 더 높았습니다. 인과적 결론을 가장 잘 가능하게 하는 설계 변경은 무엇입니까?

A학생들에게 수면을 두 번 보고하게 하여 두 보고의 평균을 낸다
B더 많은 학생을 조사한다
C성적을 더 정확하게 측정한다
D학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 20, 36, 55, 14, 29.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 63점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 5x = 63

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.25, 0.15, 0.2, 0.35

σ =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.4k = 2

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.0143이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.0143

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.05 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.신뢰구간보통

환자 10명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 −7.4, 표준 편차는 8이다. 평균 차이에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n = 10d̄ = −7.4s_d = 895%t(9) = 2.262

상한 = mmHg

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 16개 구획, 평균 수확량 66 kg, 표준 편차 9 kg. 구획 집단 2: 5개 구획, 평균 64 kg, 표준 편차 1 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 16x̄₁ = 66s₁ = 9n₂ = 5x̄₂ = 64s₂ = 195%t(19) = 2.093

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 200.4, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 200.4s = 5n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 105입니다. 모표준편차는 12입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 105σ = 12n = 3699%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 107Σx² = 55Σy² = 2313Σxy = 309

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 1.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 1.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 천장 효과

이것이 답인 이유

천장 효과는 아무도 더 높은 점수를 받을 수 없으므로 조건 간 차이를 가립니다. 바닥 효과는 그 반대로 과제가 너무 어려울 때 생깁니다.

답

C · 천장 효과

2.심리학 연구 방법

답: D · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다

이것이 답인 이유

무선 배정으로 수면을 조작해야만 제3의 변수를 통제하고, 윤리적 한계 안에서 인과 추론을 할 수 있습니다.

답

D · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다

3.기술통계

답: s = 15.93

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 154/5 = 30.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−10.8)² + 5.2² + 24.2² + (−16.8)² + (−1.8)² = 1015

표준편차

s = √(1015/4) = 15.93

답

s = 15.93

4.기술통계

답: z = 0.6

표준화하기

z = (63 − 60)/5 = 0.6

답

z = 0.6

5.확률

답: σ = 1.322

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.05 + 2·0.25 + 3·0.15 + 4·0.2 + 5·0.35 = 3.55

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.05 + 4·0.25 + 9·0.15 + 16·0.2 + 25·0.35 = 14.35

분산

Var(X) = 14.35 − 3.55² = 1.748

σ = √1.748 = 1.322

답

σ = 1.322

6.확률

답: P = 0.209

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 2) = 28·0.4²·0.6⁶ = 28·0.16·0.04666 = 0.209

답

P = 0.209

7.정규분포

답: z = 2.19

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.0143 = 0.9857

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9857을 찾아 z를 읽으세요.

z = 2.19

답

z = 2.19

8.정규분포

답: P = 0.9772

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.05)/0.025 = −2

확률

P = 1 − Φ(−2) = 0.9772

답

P = 0.9772

9.신뢰구간

답: 상한 = −1.678 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 9, t = 2.262

오차 한계

E = 2.262·8/√10 = 5.722

구간

−7.4 ± 5.722 → [−13.12, −1.678]

답

상한 = −1.678 mmHg

10.신뢰구간

답: E = 8.589 kg

합동 표준 편차

s_p² = (15·9² + 4·1²)/19 = 64.16

s_p = 8.01

오차 한계

E = 2.093·8.01·√(1/16 + 1/5) = 8.589

답

E = 8.589 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.72

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

검정통계량

t = (200.4 − 200)/0.5556 = 0.72

답

t = 0.72

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 99.85

오차 한계

E = 2.576·12/√36 = 5.152

구간 끝값

L = 105 − 5.152 = 99.85

답

L = 99.85

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.7878

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 309 − 15·107/5 = −12

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2313 − 107²/5 = 23.2

상관계수

r = −12/√(10·23.2) = −0.7878

답

r = −0.7878

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 29.85

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 195/5 = 39

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

회귀직선

b = 61/10 = 6.1

a = 39 − 6.1·3 = 20.7

ŷ = 20.7 + 6.1·x

예측

ŷ = 20.7 + 6.1·1.5 = 29.85

답

ŷ = 29.85

15.카이제곱 검정

답: χ² = 6.499

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32

야간 근무: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40

카이제곱 통계량

χ² = (13 − 20)²/20 + (29 − 28)²/28 + (38 − 32)²/32 + (32 − 25)²/25 + (34 − 35)²/35 + (34 − 40)²/40

χ² = 6.499

답

χ² = 6.499

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 1.06

기대 도수

공장 A: 70, 30

공장 B: 28, 12

공장 C: 56, 24

카이제곱 통계량

χ² = (69 − 70)²/70 + (31 − 30)²/30 + (26 − 28)²/28 + (14 − 12)²/12 + (59 − 56)²/56 + (21 − 24)²/24

χ² = 1.06

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

1.06 < 9.210

답

χ² = 1.06

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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