심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

내적 타당도란 무엇을 말합니까?

A검사가 시간에 걸쳐 같은 결과를 주는지
B관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지
C참가자가 연구를 흥미롭다고 느꼈는지
D결과가 다른 모집단, 상황, 시점으로 연구를 넘어 일반화되는지

2.심리학 연구 방법어려움

일반 모집단에서는 더 높은데도, 프로 농구 선수만을 대상으로 한 연구에서 키와 IQ의 상관이 r = 0.05로 나타납니다. 약한 상관을 가장 잘 설명하는 것은 무엇입니까?

A평균으로의 회귀
B요구 특성
CIQ 검사의 천장 효과
D범위 제한

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 11, 40, 13, 24, 33, 34.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 90점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 20x = 90

z =

5.확률보통

15명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 15k = 4

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.25로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.25k = 2

P =

7.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 460에서 522 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 460x₂ = 522

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 60%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점60%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 62, 표준편차는 s = 18.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 12x̄ = 62s = 18.595%t(11) = 2.201

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 39입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 39E = 0.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 80이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 5로 알려져 있다. 관측값 100개의 확률 표본의 평균은 79.23이다. H₀: μ = 80 대 H₁: μ < 80을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 80σ = 5n = 100x̄ = 79.23H₁: μ < μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 500 대 H₁: μ > 500의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 503.1이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 500μ = 503.1σ = 5n = 25α = 0.10

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 120Σy = 560Σx² = 2970Σy² = 65050Σxy = 13887

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 21을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 21

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지

이것이 답인 이유

내적 타당도가 높다는 것은 혼입, 요구 특성, 실험자 편향 같은 대안적 설명이 배제되었다는 뜻입니다. 외적 타당도는 일반화에 관한 것입니다.

답

B · 관찰된 효과가 다른 요인이 아니라 정말 독립변수 때문에 생겼는지

2.심리학 연구 방법

답: D · 범위 제한

이것이 답인 이유

표본이 한 변수의 좁은 범위만 포함하면 그 변수와 관련된 상관이 줄어듭니다. 농구 선수는 모두 키가 크므로 키의 변동이 작습니다.

답

D · 범위 제한

3.기술통계

답: s = 12.39

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 165/7 = 23.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.57)² + (−12.57)² + 16.43² + (−10.57)² + 0.4286² + 9.429² + 10.43² = 921.7

표준편차

s = √(921.7/6) = 12.39

답

s = 12.39

4.기술통계

답: z = 1.5

표준화하기

z = (90 − 60)/20 = 1.5

답

z = 1.5

5.확률

답: N = 1365

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365

답

N = 1365

6.확률

답: P = 0.2816

이항분포 공식

P(X = 2) = 45·0.25²·0.75⁸ = 45·0.0625·0.1001 = 0.2816

답

P = 0.2816

7.정규분포

답: P = 0.5502

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (460 − 500)/40 = −1

z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55

사이의 넓이

P = Φ(0.55) − Φ(−1) = 0.7088 − 0.1587 = 0.5502

답

P = 0.5502

8.정규분포

답: x = 96.3 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.4

표에서 구한 z

z ≈ −0.25

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 0.25·15 = 96.3 점

답

x = 96.3 점

9.신뢰구간

답: E = 11.75

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 2.201

오차 한계

E = 2.201·18.5/√12 = 11.75

답

E = 11.75

10.신뢰구간

답: n = 16464

n에 대해 풀기

n = (1.645·39/0.5)² = 16463

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 16464

답

n = 16464

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.06178

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5

z = (79.23 − 80)/0.5 = −1.54

꼬리 면적

Φ(1.54) = 0.9382

1 − Φ(1.54) = 0.0618

p값

p = 0.06178

답

p = 0.06178

p > 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 96.55 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 500 + 1.282·1 = 501.3

참 평균에서의 z

z = (501.3 − 503.1)/1 = −1.818

전력

검정력 = P(Z > −1.818) = 96.55%

1 − β = 96.55%

답

1 − β = 96.55%

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9761

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 13887 − 120·560/5 = 447

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 65050 − 560²/5 = 2330

상관계수

r = 447/√(90·2330) = 0.9761

답

r = 0.9761

14.선형 회귀와 상관

답: x = 1.353

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

회귀직선

b = −17/10 = −1.7

a = 18.2 − (−1.7)·3 = 23.3

ŷ = 23.3 − 1.7·x

x 구하기

x = (21 − 23.3)/(−1.7) = 1.353

답

x = 1.353

15.카이제곱 검정

답: χ² = 3.704

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 60·28/140 = 12, 60·63/140 = 27, 60·49/140 = 21

교직원: 80·28/140 = 16, 80·63/140 = 36, 80·49/140 = 28

카이제곱 통계량

χ² = (12 − 12)²/12 + (22 − 27)²/27 + (26 − 21)²/21 + (16 − 16)²/16 + (41 − 36)²/36 + (23 − 28)²/28

χ² = 3.704

답

χ² = 3.704

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 2.24

기대 도수

1라인: 32, 48

2라인: 16, 24

3라인: 32, 48

카이제곱 통계량

χ² = (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48 + (15 − 16)²/16 + (25 − 24)²/24 + (37 − 32)²/32 + (43 − 48)²/48

χ² = 2.24

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

2.24 < 5.991

답

χ² = 2.24

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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