심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균
x̄ = Σx/n
표본 표준편차
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값
정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수
z = (x − μ)/σ
정규분포
±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때
x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기
n = (z·σ/E)², rounded up

방법

  1. z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
  2. 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
  3. 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
  4. 구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정
|z| > 1.96이면 H0 기각
신뢰구간
x̄ ± z·σ/√n

방법

  1. H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
  2. 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
  3. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
  4. 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량
χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정
χ² > χ²crit이면 H0을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

관찰에서 자료 수집 전에 행동 범주를 조작적으로 정의하는 이유는 무엇입니까?

  1. A관찰이 실험이 되도록
  2. B참가자가 무엇이 기록되는지 정확히 알도록
  3. C관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록
  4. D자료를 본 후 가설을 바꿀 수 있도록
2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 소음이 집중력에 미치는 효과를 측정합니다. 소음 조건의 참가자는 우연히 오전에, 조용한 조건의 참가자는 오후에 검사받았습니다. 문제는 무엇입니까?

  1. A하루 중 시간이 종속변수이다
  2. B하루 중 시간이 혼입변수이다
  3. C연구의 조건이 너무 많다
  4. D자료가 명명 수준이다
3.기술통계보통
15202530354045

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 47, 14, 14, 41, 13, 36.

n = 6
s =
4.기술통계어려움
z −2−1012

어떤 양은 평균 100, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 70보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 20x = 70
P =
5.확률보통
P(적어도 한 번 6) = ??1?2?3매 던지기에서 P(6) = 1/6

공정한 주사위를 3번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 3
P =
6.확률어려움
xp(x)00.1510.320.1530.1540.25μ

X의 분포가 표와 같고 Y = 10X + 10입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.15, 0.15, 0.25Y = 10X + 10
σY =
7.정규분포보통
340 kg388 kgT = X₁ + … + X₄?

짐을 든 승객의 질량은 독립이며 평균 85 kg, 표준편차 12 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 4개의 총 질량이 388 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 388 kg
P =
8.정규분포어려움
557085100115130145점아래 15%

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 15%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점15%
x = 점
9.신뢰구간보통
n = 21, s = 8L = ?Ux̄ = 15.5E95%

항목 21개의 표본 평균은 15.5, 표준편차는 s = 8입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 21x̄ = 15.5s = 895%t(20) = 2.086
하한 =
10.신뢰구간어려움
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

모표준편차는 12입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 12E = 290%
n =
11.가설 검정과 신뢰구간보통
t −1.98401.984

학생 100명 표본의 평균 점수는 499.1, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 499.1s = 5n = 100
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 27, 검정력 95%, n = ?

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 27이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 95%δ = 5σ = 27zα = 2.326zβ = 1.645
n =
13.선형 회귀와 상관보통
xy35456276796811821385xy510607080

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
xy249358461563672xy246506070ŷ = 63

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 63을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 63
x =
15.카이제곱 검정보통
결함 없음경미한 결함중대한 결함합계주간 근무22321064야간 근무424432118합계647642182

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “주간 근무, 결함 없음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 64열 합계 = 64N = 182
E =
16.카이제곱 검정어려움
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.

α = 0.05
χ²crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록

이것이 답인 이유

명확하고 관찰 가능한 범주(예: "손바닥으로 때림")는 주관적 판단을 줄이고 관찰자 간 신뢰도를 높입니다.

답

C · 관찰자들이 같은 행동을 일관되게 기록하여 신뢰도를 높이도록
2.심리학 연구 방법

답: B · 하루 중 시간이 혼입변수이다

이것이 답인 이유

소음과 검사 시간이 함께 변하므로 어떤 차이든 둘 중 어느 것 때문일 수 있습니다. 검사 시간을 무선 배정하거나 시간을 일정하게 유지하면 혼입이 제거됩니다.

답

B · 하루 중 시간이 혼입변수이다
3.기술통계

답: s = 15.55

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 165/6 = 27.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 19.5² + (−13.5)² + (−13.5)² + 13.5² + (−14.5)² + 8.5² = 1210

표준편차

s = √(1210/5) = 15.55

답

s = 15.55
4.기술통계

답: P = 0.9332

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

표준화하기

z = −1.5

표준정규분포표

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

답

P = 0.9332
5.확률

답: P = 0.4213

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213

답

P = 0.4213
6.확률

답: σY = 14.31

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.05, Var(X) = 2.048, σX = 1.431

일차 변환

σY = |10|·1.431 = 14.31

답

σY = 14.31

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 10·2.05 + 10 = 30.5.

7.정규분포

답: P = 0.02275

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg

표준화하기

z = (388 − 340)/24 = 2

확률

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

답

P = 0.02275
8.정규분포

답: x = 84.4 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.15

표에서 구한 z

z ≈ −1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 1.04·15 = 84.4 점

답

x = 84.4 점
9.신뢰구간

답: 하한 = 11.86

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.086

오차 한계

E = 2.086·8/√21 = 3.642

구간

15.5 ± 3.642 → [11.86, 19.14]

답

하한 = 11.86
10.신뢰구간

답: n = 98

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·12/2)² = 97.42

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 98

답

n = 98
11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

검정통계량

t = (499.1 − 500)/0.5 = −1.8

답

t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 460

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 1.645)·27/5)² = 459.8

올림하기

n = 460

답

n = 460
13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9749

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 418/6 = 69.67

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Syy = Σ(y − ȳ)² = 701.3

상관계수

r = 216/√(70·701.3) = 0.9749

답

r = 0.9749
14.선형 회귀와 상관

답: x = 4.471

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 303/5 = 60.6

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51

회귀직선

b = 51/10 = 5.1
a = 60.6 − 5.1·4 = 40.2
ŷ = 40.2 + 5.1·x

x 구하기

x = (63 − 40.2)/5.1 = 4.471

답

x = 4.471
15.카이제곱 검정

답: E = 22.51

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 64·64/182 = 22.51

답

E = 22.51
16.카이제곱 검정

답: χ²crit = 11.07

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

자유도

df = 6 − 1 = 5

표

χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

답

χ²crit = 11.070

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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