기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
출판 편향이란 무엇을 말합니까?
- A학술지가 질적 연구만 출판하는 것
- B유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것
- C심사자가 덜 알려진 대학보다 유명 대학 출신 저자의 논문을 선호하는 것
- D연구자가 같은 연구를 두 번 출판하는 것
2.심리학 연구 방법어려움
참가자는 자신이 약을 먹는지 설탕 알약을 먹는지 모르지만 연구자는 압니다. 이것은 어떤 설계이며 어떤 편향이 여전히 가능합니까?
- A이중맹검, 어떤 편향도 불가능하다
- B단일맹검, 실험자 편향은 여전히 가능하다
- C공개 시험, 위약 효과가 완전히 통제된다
- D단일맹검, 요구 특성은 불가능하다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 13, 30, 54, 29, 21.
n = 5
s =
4.기술통계어려움
어떤 양은 평균 70, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 100보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 70σ = 15x = 100
P =
5.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.3, 0.3, 0.1
σ =
6.확률어려움
부품 7개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.2로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?
n = 7p = 0.2
P =
7.정규분포보통
X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 33.3 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 33.3 min
P =
8.정규분포어려움
성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
9.신뢰구간보통
두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 63.5 h, 알려진 표준 편차 15 h. 모델 2: 휴대전화 100대, 평균 70.5 h, 알려진 표준 편차 6 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
n₁ = 80x̄₁ = 63.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 70.5 hσ₂ = 6 h99%
E = h
10.신뢰구간어려움
두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 8개 구획, 평균 수확량 77.5 kg, 표준 편차 8 kg. 구획 집단 2: 13개 구획, 평균 68.5 kg, 표준 편차 4 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.
n₁ = 8x̄₁ = 77.5s₁ = 8n₂ = 13x̄₂ = 68.5s₂ = 499%t(19) = 2.861
E = kg
11.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 100명 표본의 평균 점수는 47.3, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 50x̄ = 47.3s = 15n = 100
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 22이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.
α = 0.05검정력 = 90%δ = 5σ = 22zα = 1.645zβ = 1.282
n =
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 15Σy = 209Σx² = 55Σy² = 9259Σxy = 699
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 50을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 6ŷ = 50
x =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.
N = 1202 × 3
χ² =
16.카이제곱 검정어려움
행 2개, 열 5개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
α = 0.05
χ²crit =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: B · 유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것
이것이 답인 이유
유의하지 않은 연구가 서랍 속에 남아 있으면 출판된 문헌이 효과 크기를 과대평가하게 되어 메타분석이 왜곡됩니다.
답
B · 유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것
2.심리학 연구 방법
답: B · 단일맹검, 실험자 편향은 여전히 가능하다
이것이 답인 이유
단일맹검 설계에서는 참가자가 자신의 조건을 모르므로 위약 기대가 통제됩니다. 연구자가 아는 것은 여전히 결과에 영향을 줄 수 있으므로 이중맹검 설계가 선호됩니다.
답
B · 단일맹검, 실험자 편향은 여전히 가능하다
3.기술통계
답: s = 15.37
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 147/5 = 29.4
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−16.4)² + 0.6² + 24.6² + (−0.4)² + (−8.4)² = 945.2
표준편차
s = √(945.2/4) = 15.37
답
s = 15.37
4.기술통계
답: P = 0.02275
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 2
표준정규분포표
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
답
P = 0.02275
5.확률
답: σ = 9.798
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 10·0.3 + 20·0.3 + 30·0.3 + 40·0.1 = 22
제곱의 평균
E(X²) = 100·0.3 + 400·0.3 + 900·0.3 + 1600·0.1 = 580
분산
Var(X) = 580 − 22² = 96
σ = √96 = 9.798
답
σ = 9.798
6.확률
답: P = 0.5767
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
고장 0개와 1개
P(X = 0) = 0.87 = 0.2097
P(X = 1) = 7·0.2·0.86 = 0.367
더하기
P = 0.2097 + 0.367 = 0.5767
답
P = 0.5767
7.정규분포
답: P = 0.3015
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
합의 분포
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
표준화하기
z = (33.3 − 32)/2.5 = 0.52
위쪽 꼬리
P = 1 − Φ(0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015
답
P = 0.3015
8.정규분포
답: x = 187 cm
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
다시 x로
x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm
답
x = 186.97 cm
9.신뢰구간
답: E = 4.588 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
점추정값
x̄₁ − x̄₂ = 63.5 − 70.5 = −7
표준오차
SE = √(15²/80 + 6²/100) = 1.781
오차 한계
E = 2.576·1.781 = 4.588
답
E = 4.588 h
구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.
10.신뢰구간
답: E = 7.461 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
합동 표준 편차
sp² = (7·8² + 12·4²)/19 = 33.68
sp = 5.804
오차 한계
E = 2.861·5.804·√(1/8 + 1/13) = 7.461
답
E = 7.461 kg
11.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −1.8
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
검정통계량
t = (47.3 − 50)/1.5 = −1.8
답
t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 166
검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = ((1.645 + 1.282)·22/5)² = 165.9
올림하기
n = 166
답
n = 166
13.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9958
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 699 − 15·209/5 = 72
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 9259 − 209²/5 = 522.8
상관계수
r = 72/√(10·522.8) = 0.9958
답
r = 0.9958
14.선형 회귀와 상관
답: x = 5.479
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 277/6 = 46.17
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68.5
회귀직선
b = 68.5/17.5 = 3.914
a = 46.17 − 3.914·4.5 = 28.55
ŷ = 28.55 + 3.914·x
x 구하기
x = (50 − 28.55)/3.914 = 5.479
답
x = 5.479
15.카이제곱 검정
답: χ² = 6.762
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
주간 근무: 80·24/120 = 16, 80·36/120 = 24, 80·60/120 = 40
야간 근무: 40·24/120 = 8, 40·36/120 = 12, 40·60/120 = 20
카이제곱 통계량
χ² = (11 − 16)²/16 + (28 − 24)²/24 + (41 − 40)²/40 + (13 − 8)²/8 + (8 − 12)²/12 + (19 − 20)²/20
χ² = 6.762
답
χ² = 6.762
df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.
16.카이제곱 검정
답: χ²crit = 9.488
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4
표
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
답
χ²crit = 9.488
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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