심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

같은 참가자 25명이 카페인 섭취 전과 후에 기억 검사를 받습니다. 점수는 등간 척도이고 대략 정규분포입니다. 적절한 검정은 무엇입니까?

A독립표본 t검정
B맨–휘트니 U 검정
C대응(관련)표본 t검정
D카이제곱 검정

2.심리학 연구 방법어려움

코헨의 d 같은 효과 크기를 보고하는 이유는 무엇입니까?

A몇 명의 참가자가 탈락했는지 알려 주기 때문
B표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문
C어떤 가설도 필요 없게 만들기 때문
D선택한 알파 수준에서 결과가 통계적으로 유의한지 보여 주기 때문

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 33, 47, 21, 38, 36, 59.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 50보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 8개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

7 / 8

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.3k = 3

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.7291이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7291

z =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 70%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 100대, 평균 124.5 h, 알려진 표준 편차 11 h. 모델 2: 휴대전화 30대, 평균 122.5 h, 알려진 표준 편차 13 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 124.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 30x̄₂ = 122.5 hσ₂ = 13 h99%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 37입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 37E = 199%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 194.8, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 194.8s = 8n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 2.590%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 25Σy = 225Σx² = 165Σy² = 10817Σxy = 1291

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 2일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 2

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 경미한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 119열 합계 = 74N = 206

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 9개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 9

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 대응(관련)표본 t검정

이것이 답인 이유

대응 t검정은 각 개인 내의 차이를 이용하여 두 조건에서 같은 참가자의 평균을 비교합니다.

답

C · 대응(관련)표본 t검정

2.심리학 연구 방법

답: B · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

이것이 답인 이유

표본이 크면 아주 작은 효과도 유의할 수 있습니다. 효과 크기는 차이의 크기를 나타내며, 예를 들어 d = 0.2는 작음, 0.5는 중간, 0.8은 큼입니다.

답

B · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

3.기술통계

답: s = 12.92

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 234/6 = 39

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 8² + (−18)² + (−1)² + (−3)² + 20² = 834

표준편차

s = √(834/5) = 12.92

답

s = 12.92

4.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

답

P = 0.9772

5.확률

답: P = 0.2

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 7/15 · 6/14 = 42/210 = 0.2

답

P = 0.2

6.확률

답: P = 0.2541

이항분포 공식

P(X = 3) = 56·0.3³·0.7⁵ = 56·0.027·0.1681 = 0.2541

답

P = 0.2541

7.정규분포

답: z = −0.61

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.7291 = 0.2709

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.2709을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.61

답

z = −0.61

8.정규분포

답: x = 174.4 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.3

표에서 구한 z

z ≈ −0.52

원래 단위로 되돌리기

x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm

답

x = 174.4 cm

9.신뢰구간

답: 상한 = 8.739 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 124.5 − 122.5 = 2

표준오차

SE = √(11²/100 + 13²/30) = 2.616

오차 한계

E = 2.576·2.616 = 6.739

구간

2 ± 6.739 → [−4.739, 8.739]

답

상한 = 8.739 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: n = 9085

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·37/1)² = 9084

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 9085

답

n = 9085

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.6

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

검정통계량

t = (194.8 − 200)/2 = −2.6

답

t = −2.6

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 7

n에 대해 풀기

n = (1.645·4/2.5)² = 6.927

올림하기

n = 7

답

n = 7

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9978

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1291 − 25·225/5 = 166

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 10817 − 225²/5 = 692

상관계수

r = 166/√(40·692) = 0.9978

답

r = 0.9978

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 45.15

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 279/5 = 55.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

회귀직선

b = 142/40 = 3.55

a = 55.8 − 3.55·5 = 38.05

ŷ = 38.05 + 3.55·x

예측

ŷ = 38.05 + 3.55·2 = 45.15

답

ŷ = 45.15

15.카이제곱 검정

답: E = 42.75

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 119·74/206 = 42.75

답

E = 42.75

16.카이제곱 검정

답: df = 7

자유도

df = 9 − 1 − 1 = 7

답

df = 7

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