심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

한 학생이 평균 100, 표준편차 15인 검사에서 130점을 받았습니다. z점수는 얼마입니까?

A3.0
B1.5
C2.0
D0.5

2.심리학 연구 방법어려움

어떤 연구에서 한 질문지가 같은 구성개념을 측정하는 공인된 검사와 강한 상관을 보였습니다. 이것이 지지하는 것은 무엇입니까?

A생태학적 타당도
B검사-재검사 신뢰도
C안면 타당도
D공인 타당도(동시 타당도)

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 33, 38, 11, 27, 32, 25.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 38보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 10x = 38

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.05, 0.25, 0.35, 0.35

Var(X) =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 12개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.6로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 12p = 0.6k = 3

P =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 100에서 127 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 127

P =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 40.5, 표준편차는 s = 9입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 10x̄ = 40.5s = 995%t(9) = 2.262

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 32입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 32E = 1.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 100개 표본의 평균 길이는 109.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 17 mm이다. 라인 2: 부품 60개 표본의 평균은 116.4 mm, 알려진 표준 편차는 18 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 109.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 116.4 mmσ₂ = 18 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 12입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 12E = 399%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 3

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 2.0

이것이 답인 이유

(130 − 100) / 15 = 2. 이 점수는 평균보다 2 표준편차 높으며, 약 97–98%의 사람보다 높습니다.

답

C · 2.0

2.심리학 연구 방법

답: D · 공인 타당도(동시 타당도)

이것이 답인 이유

공인 타당도는 새로운 측정이 거의 같은 시점에 실시한 공인된 측정과 일치할 때 입증됩니다.

답

D · 공인 타당도(동시 타당도)

3.기술통계

답: s = 8.821

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 188/7 = 26.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−4.857)² + 6.143² + 11.14² + (−15.86)² + 0.1429² + 5.143² + (−1.857)² = 466.9

표준편차

s = √(466.9/6) = 8.821

답

s = 8.821

4.기술통계

답: P = 0.8849

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

답

P = 0.8849

5.확률

답: Var(X) = 80

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 10·0.05 + 20·0.25 + 30·0.35 + 40·0.35 = 30

제곱의 평균

E(X²) = 100·0.05 + 400·0.25 + 900·0.35 + 1600·0.35 = 980

분산

Var(X) = 980 − 30² = 80

답

Var(X) = 80

6.확률

답: P = 0.01246

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 3) = 220·0.6³·0.4⁹ = 220·0.216·0.0002621 = 0.01246

답

P = 0.01246

7.정규분포

답: P = 0.4641

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (127 − 100)/15 = 1.8

사이의 넓이

P = Φ(1.8) − Φ(0) = 0.9641 − 0.5 = 0.4641

답

P = 0.4641

8.정규분포

답: x = 26.95 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

답

x = 26.95 min

9.신뢰구간

답: 상한 = 46.94

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 2.262

오차 한계

E = 2.262·9/√10 = 6.438

구간

40.5 ± 6.438 → [34.06, 46.94]

답

상한 = 46.94

10.신뢰구간

답: n = 1232

n에 대해 풀기

n = (1.645·32/1.5)² = 1232

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1232

답

n = 1232

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.396

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(17²/100 + 18²/60) = √8.29 = 2.879

검정통계량

z = (109.5 − 116.4)/2.879 = −2.396

답

z = −2.396

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 107

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·12/3)² = 106.2

올림하기

n = 107

답

n = 107

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9698

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 442/5 = 88.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1907

결정계수

r² = 272²/(40·1907) = 0.9698

답

r² = 0.9698

y의 변동 중 약 96.98%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 5.95

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 47/5 = 9.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

회귀직선

b = 46/40 = 1.15

a = 9.4 − 1.15·6 = 2.5

ŷ = 2.5 + 1.15·x

예측

ŷ = 2.5 + 1.15·3 = 5.95

답

ŷ = 5.95

15.카이제곱 검정

답: χ² = 7.2

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 40·40/80 = 20, 40·40/80 = 20

여성: 40·40/80 = 20, 40·40/80 = 20

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20

χ² = 7.2

답

χ² = 7.2

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 87.37

기대 도수

18–30세: 70, 30

31–50세: 70, 30

51세 이상: 42, 18

카이제곱 통계량

χ² = (87 − 70)²/70 + (13 − 30)²/30 + (82 − 70)²/70 + (18 − 30)²/30 + (13 − 42)²/42 + (47 − 18)²/18

χ² = 87.37

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

87.37 > 9.210

답

χ² = 87.37

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology