심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

미국 학부생만을 대상으로 한 연구는 무엇이 부족할 수 있습니까?

A모집단 타당도
B평정자 간 신뢰도
C내용 타당도
D내적 일관성

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아이스크림 판매량과 익사 사망이 정적 상관이 있음을 발견합니다. 가장 그럴듯한 설명은 무엇입니까?

A그 상관은 틀림없이 계산 오류이다
B더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
C아이스크림이 익사를 일으킨다
D익사가 아이스크림 판매를 늘린다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 40, 54, 42, 55, 44.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 77.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 5x = 77.5

P =

5.확률보통

10명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 4

N =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = −2X + 10입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.2, 0.3, 0.35Y = −2X + 10

σ_Y =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 85에서 103 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 103

P =

8.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

9.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 25, 표준편차는 s = 2입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 10x̄ = 25s = 295%t(9) = 2.262

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 6입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 6E = 2.599%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 100개 표본의 평균 길이는 117 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 17 mm이다. 라인 2: 부품 100개 표본의 평균은 110.6 mm, 알려진 표준 편차는 14 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 117 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 100x̄₂ = 110.6 mmσ₂ = 14 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 120명 중 84명, 치료 B를 받은 환자 250명 중 148명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 84n₁ = 120x₂ = 148n₂ = 250

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 120Σy = 395Σx² = 2970Σy² = 32641Σxy = 9831

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 28.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 28.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “교직원, 자동차”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 91열 합계 = 57N = 194

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 6개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 모집단 타당도

이것이 답인 이유

모집단 타당도는 외적 타당도의 한 유형입니다. 대부분 젊고, 서구적이며, 교육받은 표본은 다른 사람들을 대표하지 못할 수 있습니다.

답

A · 모집단 타당도

2.심리학 연구 방법

답: B · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

이것이 답인 이유

제3의 변수인 기온이 둘 다를 일으킵니다. 이는 상관만으로는 인과를 보여 줄 수 없는 이유를 보여 줍니다.

답

B · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

3.기술통계

답: s = 6.274

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 281/6 = 46.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−0.8333)² + (−6.833)² + 7.167² + (−4.833)² + 8.167² + (−2.833)² = 196.8

표준편차

s = √(196.8/5) = 6.274

답

s = 6.274

4.기술통계

답: P = 0.06681

표준화하기

z = 1.5

표준정규분포표

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

답

P = 0.06681

5.확률

답: N = 210

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

답

N = 210

6.확률

답: σ_Y = 2.124

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.85, Var(X) = 1.128, σ_X = 1.062

일차 변환

σ_Y = |−2|·1.062 = 2.124

답

σ_Y = 2.124

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = −2·2.85 + 10 = 4.3.

7.정규분포

답: P = 0.4206

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (103 − 100)/15 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1) = 0.5793 − 0.1587 = 0.4206

답

P = 0.4206

8.정규분포

답: x = 466.3 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

답

x = 466.34 h

9.신뢰구간

답: E = 1.431

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 2.262

오차 한계

E = 2.262·2/√10 = 1.431

답

E = 1.431

10.신뢰구간

답: n = 39

n에 대해 풀기

n = (2.576·6/2.5)² = 38.22

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 39

답

n = 39

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 2.906

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(17²/100 + 14²/100) = √4.85 = 2.202

검정통계량

z = (117 − 110.6)/2.202 = 2.906

답

z = 2.906

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 2.011

표본 비율

p̂₁ = 84/120 = 0.7

p̂₂ = 148/250 = 0.592

p̂ = 232/370 = 0.627

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.627·0.373·(1/120 + 1/250)) = 0.05371

검정통계량

z = (0.7 − 0.592)/0.05371 = 2.011

답

z = 2.011

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9764

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 9831 − 120·395/5 = 351

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 32641 − 395²/5 = 1436

상관계수

r = 351/√(90·1436) = 0.9764

답

r = 0.9764

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 151.6

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 709/6 = 118.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 877.5

회귀직선

b = 877.5/157.5 = 5.571

a = 118.2 − 5.571·22.5 = −7.19

ŷ = −7.19 + 5.571·x

예측

ŷ = −7.19 + 5.571·28.5 = 151.6

답

ŷ = 151.6

15.카이제곱 검정

답: E = 26.74

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 91·57/194 = 26.74

답

E = 26.74

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 11.07

자유도

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

표

χ²_crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

답

χ²_crit = 11.070

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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