심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

p값이 0.03이라는 것은 무엇을 뜻합니까?

A효과가 크다
B결과가 97%의 확률로 재현된다
C영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다
D관찰된 자료가 주어졌을 때 영가설이 참일 확률이 3%에 불과하다

2.심리학 연구 방법어려움

불안 점수가 극단적으로 높아서 선택된 환자들이 치료 없이도 두 번째 검사에서 더 낮은 점수를 보입니다. 가장 가능성 높은 설명은 무엇입니까?

A천장 효과
B역균형화
C호손 효과
D평균으로의 회귀

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 30, 49, 51, 32, 12, 44, 57.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 147.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 15x = 147.5

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35

Var(X) =

6.확률어려움

부품 7개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.25로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 7p = 0.25

P =

7.정규분포보통

X는 평균 120 mm, 표준편차 0.3 mm인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 80 mm, 표준편차 0.4 mm인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 200.4 mm보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.4 mm

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 85%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점85%

x = 점

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 60대, 평균 46.5 h, 알려진 표준 편차 9 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 50 h, 알려진 표준 편차 16 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 60x̄₁ = 46.5 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 50 hσ₂ = 16 h95%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 30 kg, 표준 편차 7.5 kg. 구획 집단 2: 12개 구획, 평균 28.5 kg, 표준 편차 3 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 30s₁ = 7.5n₂ = 12x̄₂ = 28.5s₂ = 390%t(15) = 1.753

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 504, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 504s = 15n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 104.5입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 104.5σ = 15n = 10095%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 2.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 2.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 버스”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 76열 합계 = 50N = 133

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 3개, 열 5개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

이것이 답인 이유

p값은 영가설이 참일 때 관찰된 것만큼 또는 그보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다. 가설이 참일 확률이나 효과의 크기를 알려 주지 않습니다.

답

C · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

2.심리학 연구 방법

답: D · 평균으로의 회귀

이것이 답인 이유

극단 점수로 사람을 선택하면 측정 오차와 우연 때문에 이후 점수가 평균 쪽으로 이동하는 경향이 있습니다. 통제집단은 이를 처치 효과와 구분하는 데 도움이 됩니다.

답

D · 평균으로의 회귀

3.기술통계

답: s = 15.55

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 275/7 = 39.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−9.286)² + 9.714² + 11.71² + (−7.286)² + (−27.29)² + 4.714² + 17.71² = 1451

표준편차

s = √(1451/6) = 15.55

답

s = 15.55

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (147.5 − 170)/15 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: Var(X) = 164.8

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 10·0.35 + 20·0.1 + 30·0.2 + 40·0.35 = 25.5

제곱의 평균

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.1 + 900·0.2 + 1600·0.35 = 815

분산

Var(X) = 815 − 25.5² = 164.8

답

Var(X) = 164.8

6.확률

답: P = 0.4449

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.75⁷ = 0.1335

P(X = 1) = 7·0.25·0.75⁶ = 0.3115

더하기

P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449

답

P = 0.4449

7.정규분포

답: P = 0.2119

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

표준화하기

z = (200.4 − 200)/0.5 = 0.8

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

답

P = 0.2119

8.정규분포

답: x = 115.6 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.85

표에서 구한 z

z ≈ 1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 점

답

x = 115.6 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 1.956 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 46.5 − 50 = −3.5

표준오차

SE = √(9²/60 + 16²/40) = 2.784

오차 한계

E = 1.96·2.784 = 5.456

구간

−3.5 ± 5.456 → [−8.956, 1.956]

답

상한 = 1.956 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: E = 4.337 kg

합동 표준 편차

s_p² = (4·7.5² + 11·3²)/15 = 21.6

s_p = 4.648

오차 한계

E = 1.753·4.648·√(1/5 + 1/12) = 4.337

답

E = 4.337 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√81 = 15/9 = 1.667

검정통계량

t = (504 − 500)/1.667 = 2.4

답

t = 2.4

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 101.6

오차 한계

E = 1.96·15/√100 = 2.94

구간 끝값

L = 104.5 − 2.94 = 101.6

답

L = 101.6

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9059

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 92/6 = 15.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 139.3

결정계수

r² = −47²/(17.5·139.3) = 0.9059

답

r² = 0.9059

y의 변동 중 약 90.59%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 17.99

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 93/6 = 15.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43.5

회귀직선

b = −43.5/17.5 = −2.486

a = 15.5 − (−2.486)·3.5 = 24.2

ŷ = 24.2 − 2.486·x

예측

ŷ = 24.2 + (−2.486)·2.5 = 17.99

답

ŷ = 17.99

15.카이제곱 검정

답: E = 28.57

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 76·50/133 = 28.57

답

E = 28.57

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 20.09

자유도

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

표

χ²_crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090

답

χ²_crit = 20.090

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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