기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
평균의 표준오차는 언제 작아집니까?
- A평균이 커질 때
- B표본 크기가 작아질 때
- C표본 크기가 커질 때
- D변수를 서열 수준으로 측정할 때
2.심리학 연구 방법어려움
참가자 10명의 연구에서 크지만 유의하지 않은 효과가 나타났습니다. 가장 적절한 결론은 무엇입니까?
- A그 효과는 틀림없이 제1종 오류이다
- B연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다
- C효과 크기가 틀림없이 잘못 계산되었다
- D효과가 유의하지 않았으므로 연구가 영가설이 참임을 증명한다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 52, 26, 14, 42, 24, 43.
n = 6
s =
4.기술통계어려움
시험 점수는 평균 70, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 82점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 70σ = 8x = 82
z =
5.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.3, 0.3, 0.15
Var(X) =
6.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.1로 €8을, 확률 0.05로 €40을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €2€8: p = 0.1€40: p = 0.05
E(G) = €
7.정규분포보통
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 96.25에서 103 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 100σ = 15x1 = 96.25x2 = 103
P =
8.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 65σ = 10P = 5%
x = 점
9.신뢰구간보통
관측값 36개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 6.4이다. 같은 연구에서 관측값을 72개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 36E₁ = 6.4n₂ = 72
E₂ =
10.신뢰구간어려움
불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.03이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?
p = 0.5E = 0.0395%
n =
11.가설 검정과 신뢰구간보통
두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 60개 표본의 평균 길이는 89.5 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 11 mm이다. 라인 2: 부품 60개 표본의 평균은 95.7 mm, 알려진 표준 편차는 19 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.
n₁ = 60x̄₁ = 89.5 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 60x̄₂ = 95.7 mmσ₂ = 19 mm
z =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 8입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.
σ = 8E = 190%
n =
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6Σx = 42Σy = 107Σx² = 364Σy² = 2351Σxy = 922
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 6x = 3.5
ŷ =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 높음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.
행 합계 = 94열 합계 = 68N = 178
E =
16.카이제곱 검정어려움
카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
α = 0.05
χ²crit =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: C · 표본 크기가 커질 때
이것이 답인 이유
표준오차는 표본 평균이 모집단 평균을 중심으로 얼마나 변하는지 추정합니다. 표본이 클수록 추정이 더 정밀합니다.
답
C · 표본 크기가 커질 때
2.심리학 연구 방법
답: B · 연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다
이것이 답인 이유
표본이 작으면 실제 효과도 흔히 유의성에 도달하지 못합니다(제2종 오류). 연구자는 효과 크기와 신뢰구간을 보고하고 더 큰 표본으로 반복해야 합니다.
답
B · 연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다
3.기술통계
답: s = 14.36
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 201/6 = 33.5
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 18.5² + (−7.5)² + (−19.5)² + 8.5² + (−9.5)² + 9.5² = 1032
표준편차
s = √(1032/5) = 14.36
답
s = 14.36
4.기술통계
답: z = 1.5
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (82 − 70)/8 = 1.5
답
z = 1.5
5.확률
답: Var(X) = 1.028
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 0·0.25 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.15 = 1.35
제곱의 평균
E(X²) = 0·0.25 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.15 = 2.85
분산
Var(X) = 2.85 − 1.35² = 1.028
답
Var(X) = 1.028
6.확률
답: E(G) = 0.8 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 6 (p = 0.1), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.85)
기댓값
E(G) = 6·0.1 + 38·0.05 − 2·0.85 = 0.8 €
답
E(G) = 0.8 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
7.정규분포
답: P = 0.178
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25
z₂ = (103 − 100)/15 = 0.2
사이의 넓이
P = Φ(0.2) − Φ(−0.25) = 0.5793 − 0.4013 = 0.178
답
P = 0.178
8.정규분포
답: x = 48.55 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
다시 x로
x = 65 + −1.645·10 = 48.55 점
답
x = 48.55 점
9.신뢰구간
답: E₂ = 4.525
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(36/72) = 0.7071
새 오차 한계
E₂ = 6.4·0.7071 = 4.525
답
E₂ = 4.525
10.신뢰구간
답: n = 1068
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n에 대해 풀기
n = 1.96²·0.5·0.5/0.03² = 1067
올림하기
n = 1068
답
n = 1068
11.가설 검정과 신뢰구간
답: z = −2.187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
차의 표준 오차
SE = √(11²/60 + 19²/60) = √8.033 = 2.834
검정통계량
z = (89.5 − 95.7)/2.834 = −2.187
답
z = −2.187
|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 174
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·8/1)² = 173.2
올림하기
n = 174
답
n = 174
13.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9826
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 922 − 42·107/6 = 173
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 2351 − 107²/6 = 442.8
상관계수
r = 173/√(70·442.8) = 0.9826
답
r = 0.9826
14.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 52.8
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 331/6 = 55.17
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41.5
회귀직선
b = 41.5/17.5 = 2.371
a = 55.17 − 2.371·4.5 = 44.5
ŷ = 44.5 + 2.371·x
예측
ŷ = 44.5 + 2.371·3.5 = 52.8
답
ŷ = 52.8
15.카이제곱 검정
답: E = 35.91
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
E = 94·68/178 = 35.91
답
E = 35.91
16.카이제곱 검정
답: χ²crit = 11.07
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = 6 − 1 = 5
표
χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070
답
χ²crit = 11.070
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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