심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

정규분포에서 점수의 약 몇 %가 평균으로부터 1 표준편차 이내에 있습니까?

A99.7%
B50%
C68%
D95%

2.심리학 연구 방법어려움

한 기억 연구가 모든 사람이 목록 A를 학습한 뒤 목록 B를 학습하는 반복측정 설계를 사용합니다. 목록 B의 회상이 더 좋습니다. 가장 가능성 높은 결함은 무엇입니까?

A너무 큰 표본 크기
B집단 간 개인차
C서열 측정 수준의 사용
D조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 25, 40, 50, 11, 12, 23.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 62보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 8x = 62

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.2, 0.25, 0.35

Var(X) =

6.확률어려움

부품 11개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.25로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.25

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.2005이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.2005

z =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 80%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

9.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 10, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 7x̄ = 10s = 16.590%t(6) = 1.943

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 15개의 지름의 표본 표준 편차는 3.6 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 14에서 χ² 분포의 2.5%는 5.629 아래에, 2.5%는 26.119 위에 있다.

n = 15s = 3.6 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 125.3, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 125.3s = 20n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 203.3입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 203.3σ = 20n = 3690%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 21일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 21

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 68%

이것이 답인 이유

점수의 약 68%가 ±1 SD, 약 95%가 ±2 SD, 약 99.7%가 ±3 SD 이내에 있습니다.

답

C · 68%

2.심리학 연구 방법

답: D · 조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

이것이 답인 이유

모든 참가자가 같은 순서로 조건을 경험하면 향상이 목록이 아니라 연습을 반영할 수 있습니다. 역균형화(ABBA 또는 절반은 AB, 절반은 BA)가 이를 통제합니다.

답

D · 조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

3.기술통계

답: s = 15.48

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 161/6 = 26.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−1.833)² + 13.17² + 23.17² + (−15.83)² + (−14.83)² + (−3.833)² = 1199

표준편차

s = √(1199/5) = 15.48

답

s = 15.48

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = −1

표준정규분포표

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: Var(X) = 1.287

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.2 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.75

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.35 = 8.85

분산

Var(X) = 8.85 − 2.75² = 1.287

답

Var(X) = 1.287

6.확률

답: P = 0.1971

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.75¹¹ = 0.04224

P(X = 1) = 11·0.25·0.75¹⁰ = 0.1549

더하기

P = 0.04224 + 0.1549 = 0.1971

답

P = 0.1971

7.정규분포

답: z = 0.84

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.2005 = 0.7995

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.7995을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.84

답

z = 0.84

8.정규분포

답: x = 183.9 cm

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.8

표에서 구한 z

z ≈ 0.84

원래 단위로 되돌리기

x = 178 + 0.84·7 = 183.9 cm

답

x = 183.9 cm

9.신뢰구간

답: 상한 = 22.12

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 1.943

오차 한계

E = 1.943·16.5/√7 = 12.12

구간

10 ± 12.12 → [−2.117, 22.12]

답

상한 = 22.12

10.신뢰구간

답: σ = 5.677 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 14·3.6² = 181.4

σ²의 한계

181.4/26.119 = 6.947

181.4/5.629 = 32.23

σ의 한계

σ = √32.23 = 5.677 µm

답

σ = 5.677 µm

σ의 95% 구간: [2.636, 5.677] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.12

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

검정통계량

t = (125.3 − 120)/2.5 = 2.12

답

t = 2.12

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 197.8

오차 한계

E = 1.645·20/√36 = 5.483

구간 끝값

L = 203.3 − 5.483 = 197.8

답

L = 197.8

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.8801

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 406/6 = 67.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 231.3

상관계수

r = 56/√(17.5·231.3) = 0.8801

답

r = 0.8801

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 106

평균

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 713/6 = 118.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 449

회귀직선

b = 449/70 = 6.414

a = 118.8 − 6.414·23 = −28.7

ŷ = −28.7 + 6.414·x

예측

ŷ = −28.7 + 6.414·21 = 106

답

ŷ = 106

15.카이제곱 검정

답: χ² = 9.111

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24

농촌: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (15 − 18)²/18 + (13 − 18)²/18 + (32 − 24)²/24 + (21 − 18)²/18 + (23 − 18)²/18 + (16 − 24)²/24

χ² = 9.111

답

χ² = 9.111

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 0.25

기대 도수

공장 A: 50, 50

공장 B: 40, 40

공장 C: 50, 50

카이제곱 통계량

χ² = (48 − 50)²/50 + (52 − 50)²/50 + (41 − 40)²/40 + (39 − 40)²/40 + (51 − 50)²/50 + (49 − 50)²/50

χ² = 0.25

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

0.25 < 9.210

답

χ² = 0.25

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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