심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

제1종 오류는 연구자가 어떻게 할 때 일어납니까?

A자료를 너무 많이 수집할 때
B실제로 참인 영가설을 기각할 때
C잘못된 통계 검정을 사용할 때
D거짓인 영가설을 기각하지 않을 때

2.심리학 연구 방법어려움

한 심리학과가 심리학 개론 수강생에게서만 참가자를 모집합니다. 비판자들은 표본이 "WEIRD"하다고 말합니다. 이것은 무엇을 가리킵니까?

A행동이 유난히 이상한 표본
B가중 무선 방법으로 모집한 표본
C일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본
D연구에서 일찍 탈락하는 표본

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 21, 21, 37, 10.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 700보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 100x = 700

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 6개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

6 / 6

P =

6.확률어려움

부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.5로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.5

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.3616이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.3616

z =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 80%가 그 아래에 있는 값 x(80 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.신뢰구간보통

환자 6명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 2.9, 표준 편차는 5이다. 평균 차이에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n = 6d̄ = 2.9s_d = 595%t(5) = 2.571

E = mmHg

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 19입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 19E = 2.595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 52.13, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 52.13s = 5n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 5입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 5E = 390%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 64을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 64

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “교직원, 자동차”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 72열 합계 = 41N = 127

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 4개, 열 4개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

4 × 4

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

이것이 답인 이유

제1종 오류는 존재하지 않는 효과를 있다고 주장하는 것이며, 그 확률은 유의수준(흔히 0.05)과 같습니다. 제2종 오류는 실제 효과를 놓치는 것입니다.

답

B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법

답: C · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

이것이 답인 이유

헨릭(Henrich)과 동료들은 대부분의 심리학 참가자가 인류를 대표하지 않는 WEIRD 사회 출신이라는 점을 지적했으며, 이는 모집단 타당도를 위협합니다.

답

C · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

3.기술통계

답: s = 14.34

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 135/5 = 27

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 19² + (−6)² + (−6)² + 10² + (−17)² = 822

표준편차

s = √(822/4) = 14.34

답

s = 14.34

4.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = 2

표준정규분포표

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

답

P = 0.9772

5.확률

답: P = 0.2273

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0.2273

답

P = 0.2273

6.확률

답: P = 0.01953

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.5⁹ = 0.001953

P(X = 1) = 9·0.5·0.5⁸ = 0.01758

더하기

P = 0.001953 + 0.01758 = 0.01953

답

P = 0.01953

7.정규분포

답: z = 0.47

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.3616)/2 = 0.6808

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.6808을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.47

답

z = 0.47

8.정규분포

답: x = 37.05 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

다시 x로

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

답

x = 37.05 min

9.신뢰구간

답: E = 5.248 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 5, t = 2.571

오차 한계

E = 2.571·5/√6 = 5.248

답

E = 5.248 mmHg

10.신뢰구간

답: n = 222

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·19/2.5)² = 221.9

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 222

답

n = 222

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.704

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

검정통계량

t = (52.13 − 50)/1.25 = 1.704

답

t = 1.704

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 8

n에 대해 풀기

n = (1.645·5/3)² = 7.517

올림하기

n = 8

답

n = 8

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.8472

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 331/5 = 66.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 294.8

상관계수

r = 46/√(10·294.8) = 0.8472

답

r = 0.8472

14.선형 회귀와 상관

답: x = 3.522

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 302/5 = 60.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

회귀직선

b = 69/10 = 6.9

a = 60.4 − 6.9·3 = 39.7

ŷ = 39.7 + 6.9·x

x 구하기

x = (64 − 39.7)/6.9 = 3.522

답

x = 3.522

15.카이제곱 검정

답: E = 23.24

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 72·41/127 = 23.24

답

E = 23.24

16.카이제곱 검정

답: df = 9

자유도

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

답

df = 9

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