심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

p값이 0.03이라는 것은 무엇을 뜻합니까?

A영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다
B결과가 97%의 확률로 재현된다
C효과가 크다
D관찰된 자료가 주어졌을 때 영가설이 참일 확률이 3%에 불과하다

2.심리학 연구 방법어려움

밀그램의 복종 연구에서 참가자들은 실제로 전기 충격을 가한다고 믿었습니다. 가장 직접적으로 제기되는 윤리적 문제는 무엇이며, 부분적으로 어떻게 다루어졌습니까?

A통제집단의 결여, 참가자를 조건에 무선 배정하여 다룸
B기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸
C아동 참여, 부모 동의로 다룸
D비밀 보장 결여, 이름을 공개하여 다룸

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 45, 17, 27, 11.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 62.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 10x = 62.5

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 4개와 파란 공 5개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

4 / 5

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.1로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.1k = 5

P =

7.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 244에서 251 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 251

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 75%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 16개의 표본 평균은 48.5, 표준편차는 s = 8입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 16x̄ = 48.5s = 895%t(15) = 2.131

E =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 15개 구획, 평균 수확량 86.5 kg, 표준 편차 9.5 kg. 구획 집단 2: 11개 구획, 평균 79 kg, 표준 편차 4 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 15x̄₁ = 86.5s₁ = 9.5n₂ = 11x̄₂ = 79s₂ = 495%t(24) = 2.064

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 114.2, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 114.2s = 15n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 5입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 5E = 2.590%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 88Σx² = 55Σy² = 1610Σxy = 241

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 55을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 55

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2202 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 9개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 9

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

이것이 답인 이유

p값은 영가설이 참일 때 관찰된 것만큼 또는 그보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다. 가설이 참일 확률이나 효과의 크기를 알려 주지 않습니다.

답

A · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

2.심리학 연구 방법

답: B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

이것이 답인 이유

참가자들은 충격에 대해 기만당했고 많은 사람이 큰 스트레스를 보였습니다. 밀그램은 참가자에게 디브리핑을 하고 "학습자"를 만나게 했으며, 추후 조사에서 대부분이 참여해서 다행이라고 답했지만 그 윤리성은 여전히 논쟁 중입니다.

답

B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

3.기술통계

답: s = 14.53

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 110/5 = 22

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 23² + (−5)² + 5² + (−11)² = 844

표준편차

s = √(844/4) = 14.53

답

s = 14.53

4.기술통계

답: P = 0.1056

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

5.확률

답: P = 0.1667

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667

답

P = 0.1667

6.확률

답: P = 0.001488

이항분포 공식

P(X = 5) = 252·0.1⁵·0.9⁵ = 252·1 × 10⁻⁵·0.5905 = 0.001488

답

P = 0.001488

7.정규분포

답: P = 0.4642

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (244 − 250)/5 = −1.2

z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1.2) = 0.5793 − 0.1151 = 0.4642

답

P = 0.4642

8.정규분포

답: x = 71.75 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 점

답

x = 71.75 점

9.신뢰구간

답: E = 4.262

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 15, t = 2.131

오차 한계

E = 2.131·8/√16 = 4.262

답

E = 4.262

10.신뢰구간

답: E = 6.31 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (14·9.5² + 10·4²)/24 = 59.31

s_p = 7.701

오차 한계

E = 2.064·7.701·√(1/15 + 1/11) = 6.31

답

E = 6.31 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.093

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

검정통계량

t = (114.2 − 120)/1.875 = −3.093

답

t = −3.093

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 11

n에 대해 풀기

n = (1.645·5/2.5)² = 10.82

올림하기

n = 11

답

n = 11

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9297

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 241 − 15·88/5 = −23

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1610 − 88²/5 = 61.2

상관계수

r = −23/√(10·61.2) = −0.9297

답

r = −0.9297

14.선형 회귀와 상관

답: x = 3.94

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 306/5 = 61.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234

회귀직선

b = 234/40 = 5.85

a = 61.2 − 5.85·5 = 31.95

ŷ = 31.95 + 5.85·x

x 구하기

x = (55 − 31.95)/5.85 = 3.94

답

x = 3.94

15.카이제곱 검정

답: χ² = 33.69

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 100·132/220 = 60, 100·88/220 = 40

여성: 120·132/220 = 72, 120·88/220 = 48

카이제곱 통계량

χ² = (81 − 60)²/60 + (19 − 40)²/40 + (51 − 72)²/72 + (69 − 48)²/48

χ² = 33.69

답

χ² = 33.69

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 7

자유도

df = 9 − 1 − 1 = 7

답

df = 7

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