심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

평균의 표준오차는 언제 작아집니까?

A평균이 커질 때
B표본 크기가 커질 때
C변수를 서열 수준으로 측정할 때
D표본 크기가 작아질 때

2.심리학 연구 방법어려움

운동은 우울을 줄이며, 그 효과는 운동이 수면을 개선하고 수면이 다시 우울을 낮추기 때문에 생깁니다. 수면은 무엇으로 가장 잘 설명됩니까?

A통제변수
B매개변수
C조절변수
D외재변수

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 43, 48, 40, 11, 36.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 118.8보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 15x = 118.8

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 4개와 파란 공 9개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

4 / 9

P =

6.확률어려움

부품 12개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 12p = 0.3

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.9312이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9312

z =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 46, 표준편차는 s = 12입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 8x̄ = 46s = 1290%t(7) = 1.895

하한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 28입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 28E = 490%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 113.5, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 113.5s = 20n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 195.7입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 195.7σ = 15n = 8199%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 9

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 표본 크기가 커질 때

이것이 답인 이유

표준오차는 표본 평균이 모집단 평균을 중심으로 얼마나 변하는지 추정합니다. 표본이 클수록 추정이 더 정밀합니다.

답

B · 표본 크기가 커질 때

2.심리학 연구 방법

답: B · 매개변수

이것이 답인 이유

매개변수는 예측변수와 결과 사이의 인과 경로에 놓여 효과가 어떻게 또는 왜 생기는지 설명합니다.

답

B · 매개변수

3.기술통계

답: s = 14.43

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 178/5 = 35.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 7.4² + 12.4² + 4.4² + (−24.6)² + 0.4² = 833.2

표준편차

s = √(833.2/4) = 14.43

답

s = 14.43

4.기술통계

답: P = 0.8944

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

답

P = 0.8944

5.확률

답: P = 0.07692

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692

답

P = 0.07692

6.확률

답: P = 0.08503

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

더하기

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

답

P = 0.08503

7.정규분포

답: z = 1.82

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.9312)/2 = 0.9656

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9656을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.82

답

z = 1.82

8.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 하한 = 37.96

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 1.895

오차 한계

E = 1.895·12/√8 = 8.04

구간

46 ± 8.04 → [37.96, 54.04]

답

하한 = 37.96

10.신뢰구간

답: n = 133

n에 대해 풀기

n = (1.645·28/4)² = 132.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 133

답

n = 133

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.6

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

검정통계량

t = (113.5 − 120)/2.5 = −2.6

답

t = −2.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 200

오차 한계

E = 2.576·15/√81 = 4.293

구간 끝값

U = 195.7 + 4.293 = 200

답

U = 200

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9822

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 143/6 = 23.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 830.8

결정계수

r² = 239²/(70·830.8) = 0.9822

답

r² = 0.9822

y의 변동 중 약 98.22%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 85.93

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 453/6 = 75.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 365

회귀직선

b = 365/70 = 5.214

a = 75.5 − 5.214·7 = 39

ŷ = 39 + 5.214·x

예측

ŷ = 39 + 5.214·9 = 85.93

답

ŷ = 85.93

15.카이제곱 검정

답: χ² = 36.46

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 120·81/180 = 54, 120·99/180 = 66

비흡연자: 60·81/180 = 27, 60·99/180 = 33

카이제곱 통계량

χ² = (73 − 54)²/54 + (47 − 66)²/66 + (8 − 27)²/27 + (52 − 33)²/33

χ² = 36.46

답

χ² = 36.46

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 1.357

기대 도수

공장 A: 12, 28

공장 B: 30, 70

공장 C: 24, 56

카이제곱 통계량

χ² = (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28 + (29 − 30)²/30 + (71 − 70)²/70 + (22 − 24)²/24 + (58 − 56)²/56

χ² = 1.357

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

1.357 < 5.991

답

χ² = 1.357

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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