심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

p값이 0.03이라는 것은 무엇을 뜻합니까?

A결과가 97%의 확률로 재현된다
B효과가 크다
C관찰된 자료가 주어졌을 때 영가설이 참일 확률이 3%에 불과하다
D영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아홉 시점에서 자료를 모으고 보정 없이 매번 5% 수준에서 검정합니다. 무엇이 문제입니까?

A이 방법에는 아무 문제가 없다
B적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다
C검정할 때마다 효과 크기가 줄어든다
D자료가 매번 더 신뢰할 만해지므로 마지막 검정이 가장 정확하다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 23, 56, 56, 52, 16, 50.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 46보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 20x = 46

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 6번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 6

P =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 10X + 4입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35Y = 10X + 4

σ_Y =

7.정규분포보통

짐을 든 승객의 질량은 독립이며 평균 85 kg, 표준편차 12 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 12개의 총 질량이 957.6 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 957.6 kg

P =

8.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 60대, 평균 73 h, 알려진 표준 편차 12 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 76.5 h, 알려진 표준 편차 19 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 60x̄₁ = 73 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 76.5 hσ₂ = 19 h99%

E = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 6개 구획, 평균 수확량 24.5 kg, 표준 편차 7 kg. 구획 집단 2: 6개 구획, 평균 26.5 kg, 표준 편차 1 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 6x̄₁ = 24.5s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 26.5s₂ = 195%t(10) = 2.228

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 510.5, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 510.5s = 20n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 196.6입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 196.6σ = 15n = 4995%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 126Σy = 541Σx² = 2716Σy² = 50087Σxy = 11660

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 4.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

이것이 답인 이유

p값은 영가설이 참일 때 관찰된 것만큼 또는 그보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다. 가설이 참일 확률이나 효과의 크기를 알려 주지 않습니다.

답

D · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

2.심리학 연구 방법

답: B · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

이것이 답인 이유

독립적인 검정을 아홉 번 하면 적어도 한 번 제1종 오류가 날 확률은 약 1 − 0.95⁹ ≈ 37%입니다. 본페로니 보정 같은 방법으로 이를 해결합니다.

답

B · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

3.기술통계

답: s = 17.85

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 253/6 = 42.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−19.17)² + 13.83² + 13.83² + 9.833² + (−26.17)² + 7.833² = 1593

표준편차

s = √(1593/5) = 17.85

답

s = 17.85

4.기술통계

답: P = 0.8849

표준화하기

z = −1.2

표준정규분포표

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

답

P = 0.8849

5.확률

답: P = 0.6651

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

답

P = 0.6651

6.확률

답: σ_Y = 9.734

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 1.95, Var(X) = 0.9475, σ_X = 0.9734

일차 변환

σ_Y = |10|·0.9734 = 9.734

답

σ_Y = 9.734

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 10·1.95 + 4 = 23.5.

7.정규분포

답: P = 0.06681

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

표준화하기

z = (957.6 − 1020)/41.57 = −1.5

확률

P = Φ(−1.5) = 0.06681

답

P = 0.06681

8.정규분포

답: x = 527 h

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 500 + 0.6745·40 = 526.98 h

답

x = 526.98 h

9.신뢰구간

답: E = 8.707 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 73 − 76.5 = −3.5

표준오차

SE = √(12²/60 + 19²/40) = 3.38

오차 한계

E = 2.576·3.38 = 8.707

답

E = 8.707 h

구간이 0을 포함하므로 자료는 유의한 차이를 보여 주지 않습니다.

10.신뢰구간

답: E = 6.432 kg

합동 표준 편차

s_p² = (5·7² + 5·1²)/10 = 25

s_p = 5

오차 한계

E = 2.228·5·√(1/6 + 1/6) = 6.432

답

E = 6.432 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

검정통계량

t = (510.5 − 500)/5 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 200.8

오차 한계

E = 1.96·15/√49 = 4.2

구간 끝값

U = 196.6 + 4.2 = 200.8

답

U = 200.8

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9886

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 11660 − 126·541/6 = 299

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 50087 − 541²/6 = 1307

상관계수

r = 299/√(70·1307) = 0.9886

답

r = 0.9886

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 19.35

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 131/6 = 21.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43.5

회귀직선

b = −43.5/17.5 = −2.486

a = 21.83 − (−2.486)·3.5 = 30.53

ŷ = 30.53 − 2.486·x

예측

ŷ = 30.53 + (−2.486)·4.5 = 19.35

답

ŷ = 19.35

15.카이제곱 검정

답: χ² = 14.24

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28

여성: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35

카이제곱 통계량

χ² = (64 − 52)²/52 + (16 − 28)²/28 + (53 − 65)²/65 + (47 − 35)²/35

χ² = 14.24

답

χ² = 14.24

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 13.28

자유도

df = 6 − 1 − 1 = 4

표

χ²_crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

답

χ²_crit = 13.277

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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