심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 외딴 마을에 텔레비전이 들어오기 전과 후의 아동 공격성을 비교합니다. 연구자는 텔레비전의 도입을 통제하지 않았습니다. 이것은 무엇입니까?

A현장 실험
B텔레비전 시청에 관한 상관 조사
C실험실 실험
D자연 실험

2.심리학 연구 방법어려움

네 집단을 비교하는 일원분산분석이 유의합니다. 어느 집단이 다른지 알아내려면 연구자는 다음에 무엇을 해야 합니까?

A결과를 상관으로 보고한다
B평균에 대해 카이제곱 검정을 실시한다
C네 집단이 모두 서로 다르다고 결론 내린다
D투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 44, 32, 11, 16, 34.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 20점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 15x = 20

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.2, 0.35, 0.1

σ =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.5k = 3

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9732이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9732

z =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 5%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점5%

x = 점

9.신뢰구간보통

환자 16명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 7.2, 표준 편차는 1.5이다. 평균 차이에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n = 16d̄ = 7.2s_d = 1.590%t(15) = 1.753

상한 = mmHg

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 19입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 19E = 0.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 121.2, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 4n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 5입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 5E = 2.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 25Σy = 330Σx² = 135Σy² = 22130Σxy = 1706

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 21일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 21

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 높음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 83열 합계 = 67N = 167

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 11개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 11

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 자연 실험

이것이 답인 이유

자연 실험에서는 연구자가 통제할 수 없는 사건 때문에 독립변수가 변합니다. 생태학적 타당도는 높지만 무선 배정은 불가능합니다.

답

D · 자연 실험

2.심리학 연구 방법

답: D · 투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다

이것이 답인 이유

유의한 F는 모든 평균이 같지는 않음을 보여 줍니다. 사후 검정이나 계획된 대비가 오류율을 통제하면서 어떤 쌍이 다른지 확인합니다.

답

D · 투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다

3.기술통계

답: s = 13.59

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 137/5 = 27.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 16.6² + 4.6² + (−16.4)² + (−11.4)² + 6.6² = 739.2

표준편차

s = √(739.2/4) = 13.59

답

s = 13.59

4.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (20 − 50)/15 = −2

답

z = −2

5.확률

답: σ = 2.059

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 2·0.2 + 4·0.35 + 6·0.1 = 2.4

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.2 + 16·0.35 + 36·0.1 = 10

분산

Var(X) = 10 − 2.4² = 4.24

σ = √4.24 = 2.059

답

σ = 2.059

6.확률

답: P = 0.1172

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

이항분포 공식

P(X = 3) = 120·0.5³·0.5⁷ = 120·0.125·0.007813 = 0.1172

답

P = 0.1172

7.정규분포

답: z = −1.93

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.9732 = 0.0268

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.0268을 찾아 z를 읽으세요.

z = −1.93

답

z = −1.93

8.정규분포

답: x = 81.4 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.95

표에서 구한 z

z ≈ 1.64

원래 단위로 되돌리기

x = 65 + 1.64·10 = 81.4 점

답

x = 81.4 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 7.857 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 15, t = 1.753

오차 한계

E = 1.753·1.5/√16 = 0.6574

구간

7.2 ± 0.6574 → [6.543, 7.857]

답

상한 = 7.857 mmHg

10.신뢰구간

답: n = 3908

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·19/0.5)² = 3908

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 3908

답

n = 3908

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.4

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

검정통계량

t = (121.2 − 120)/0.5 = 2.4

답

t = 2.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 27

n에 대해 풀기

n = (2.576·5/2.5)² = 26.54

올림하기

n = 27

답

n = 27

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9466

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 1706 − 25·330/5 = 56

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 22130 − 330²/5 = 350

상관계수

r = 56/√(10·350) = 0.9466

답

r = 0.9466

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 100.7

평균

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 604/6 = 100.7

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 356

회귀직선

b = 356/70 = 5.086

a = 100.7 − 5.086·21 = −6.133

ŷ = −6.133 + 5.086·x

예측

ŷ = −6.133 + 5.086·21 = 100.7

답

ŷ = 100.7

15.카이제곱 검정

답: E = 33.3

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 83·67/167 = 33.3

답

E = 33.3

16.카이제곱 검정

답: df = 10

자유도

df = 11 − 1 = 10

답

df = 10

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