심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

제1종 오류는 연구자가 어떻게 할 때 일어납니까?

A거짓인 영가설을 기각하지 않을 때
B실제로 참인 영가설을 기각할 때
C자료를 너무 많이 수집할 때
D잘못된 통계 검정을 사용할 때

2.심리학 연구 방법어려움

밀그램의 복종 연구에서 참가자들은 실제로 전기 충격을 가한다고 믿었습니다. 가장 직접적으로 제기되는 윤리적 문제는 무엇이며, 부분적으로 어떻게 다루어졌습니까?

A아동 참여, 부모 동의로 다룸
B기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸
C통제집단의 결여, 참가자를 조건에 무선 배정하여 다룸
D비밀 보장 결여, 이름을 공개하여 다룸

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 23, 21, 48, 44, 36.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 70보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.3, 0.2, 0.3, 0.15

Var(X) =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.2로 €6을, 확률 0.05로 €40을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€6: p = 0.2€40: p = 0.05

E(G) = €

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.6179이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6179

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 15개의 표본 평균은 63, 표준편차는 s = 9입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 15x̄ = 63s = 999%t(14) = 2.977

하한 =

10.신뢰구간어려움

불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.03이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p = 0.5E = 0.0399%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 73.04, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 73.04s = 8n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 10입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 10E = 299%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 64을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 64

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1803 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

이것이 답인 이유

제1종 오류는 존재하지 않는 효과를 있다고 주장하는 것이며, 그 확률은 유의수준(흔히 0.05)과 같습니다. 제2종 오류는 실제 효과를 놓치는 것입니다.

답

B · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법

답: B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

이것이 답인 이유

참가자들은 충격에 대해 기만당했고 많은 사람이 큰 스트레스를 보였습니다. 밀그램은 참가자에게 디브리핑을 하고 "학습자"를 만나게 했으며, 추후 조사에서 대부분이 참여해서 다행이라고 답했지만 그 윤리성은 여전히 논쟁 중입니다.

답

B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

3.기술통계

답: s = 12.14

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 172/5 = 34.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−11.4)² + (−13.4)² + 13.6² + 9.6² + 1.6² = 589.2

표준편차

s = √(589.2/4) = 12.14

답

s = 12.14

4.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

답

P = 0.02275

5.확률

답: Var(X) = 1.36

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.05 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.3 + 4·0.15 = 2.2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.3 + 16·0.15 = 6.2

분산

Var(X) = 6.2 − 2.2² = 1.36

답

Var(X) = 1.36

6.확률

답: E(G) = 1.2 €

순 결과

G: 4 (p = 0.2), 38 (p = 0.05), −2 (p = 0.75)

기댓값

E(G) = 4·0.2 + 38·0.05 − 2·0.75 = 1.2 €

답

E(G) = 1.2 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: z = −0.3

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.6179 = 0.3821

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.3821을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.30

답

z = −0.30

8.정규분포

답: P = 0.9099

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

확률

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

답

P = 0.9099

9.신뢰구간

답: 하한 = 56.08

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 14, t = 2.977

오차 한계

E = 2.977·9/√15 = 6.918

구간

63 ± 6.918 → [56.08, 69.92]

답

하한 = 56.08

10.신뢰구간

답: n = 1844

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 2.576²·0.5·0.5/0.03² = 1843

올림하기

n = 1844

답

n = 1844

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.205

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

검정통계량

t = (73.04 − 75)/0.8889 = −2.205

답

t = −2.205

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 166

n에 대해 풀기

n = (2.576·10/2)² = 165.9

올림하기

n = 166

답

n = 166

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.8732

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 132/6 = 22

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 110

결정계수

r² = −41²/(17.5·110) = 0.8732

답

r² = 0.8732

y의 변동 중 약 87.32%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 16.52

평균

x̄ = 135/6 = 22.5

ȳ = 549/6 = 91.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 724.5

회귀직선

b = 724.5/157.5 = 4.6

a = 91.5 − 4.6·22.5 = −12

ŷ = −12 + 4.6·x

x 구하기

x = (64 − (−12))/4.6 = 16.52

답

x = 16.52

15.카이제곱 검정

답: χ² = 0.4762

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 60·126/180 = 42, 60·54/180 = 18

비흡연자: 120·126/180 = 84, 120·54/180 = 36

카이제곱 통계량

χ² = (40 − 42)²/42 + (20 − 18)²/18 + (86 − 84)²/84 + (34 − 36)²/36

χ² = 0.4762

답

χ² = 0.4762

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 3.438

기대 도수

18–30세: 48, 32

31–50세: 24, 16

51세 이상: 36, 24

카이제곱 통계량

χ² = (46 − 48)²/48 + (34 − 32)²/32 + (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (33 − 36)²/36 + (27 − 24)²/24

χ² = 3.438

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

3.438 < 9.210

답

χ² = 3.438

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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