심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

실험에서 표준화된 지시문을 사용하는 이유는 무엇입니까?

A모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해
B결과가 통계적으로 유의해지도록 하기 위해
C연구자가 참가자마다 필요에 맞게 절차를 조정할 수 있도록 하기 위해
D참가자가 자신의 조건을 선택할 수 있도록 하기 위해

2.심리학 연구 방법어려움

한 기억 연구가 모든 사람이 목록 A를 학습한 뒤 목록 B를 학습하는 반복측정 설계를 사용합니다. 목록 B의 회상이 더 좋습니다. 가장 가능성 높은 결함은 무엇입니까?

A너무 큰 표본 크기
B집단 간 개인차
C서열 측정 수준의 사용
D조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 41, 11, 52, 19, 32.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 112보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 12x = 112

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.25, 0.35

σ =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 0.5X + 10입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.35, 0.15Y = 0.5X + 10

σ_Y =

7.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 35.1 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 35.1 min

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.신뢰구간보통

항목 15개의 표본 평균은 19, 표준편차는 s = 10입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 15x̄ = 19s = 1090%t(14) = 1.761

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 15개의 지름의 표본 표준 편차는 3.8 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 14에서 χ² 분포의 2.5%는 5.629 아래에, 2.5%는 26.119 위에 있다.

n = 15s = 3.8 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 73.2, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 73.2s = 8n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ < 200의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 198이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 198σ = 10n = 25α = 0.05

β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 47을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 47

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 2개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

2 × 2

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해

이것이 답인 이유

표준화는 외재변수로서의 절차상 변동을 없애고 연구를 반복 가능하게 합니다.

답

A · 모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해

2.심리학 연구 방법

답: D · 조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

이것이 답인 이유

모든 참가자가 같은 순서로 조건을 경험하면 향상이 목록이 아니라 연습을 반영할 수 있습니다. 역균형화(ABBA 또는 절반은 AB, 절반은 BA)가 이를 통제합니다.

답

D · 조건을 역균형화하지 않아 생긴 연습 같은 순서 효과

3.기술통계

답: s = 16.48

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 155/5 = 31

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10² + (−20)² + 21² + (−12)² + 1² = 1086

표준편차

s = √(1086/4) = 16.48

답

s = 16.48

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = 1

표준정규분포표

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: σ = 2.561

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 2·0.05 + 4·0.25 + 6·0.35 = 3.2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.05 + 16·0.25 + 36·0.35 = 16.8

분산

Var(X) = 16.8 − 3.2² = 6.56

σ = √6.56 = 2.561

답

σ = 2.561

6.확률

답: σ_Y = 0.9734

X의 퍼짐

μ = 2.9, Var(X) = 3.79, σ_X = 1.947

일차 변환

σ_Y = |0.5|·1.947 = 0.9734

답

σ_Y = 0.9734

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 0.5·2.9 + 10 = 11.45.

7.정규분포

답: P = 0.1075

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (35.1 − 32)/2.5 = 1.24

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.24) = 1 − 0.8925 = 0.1075

답

P = 0.1075

8.정규분포

답: x = 189.5 cm

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 178 + 1.645·7 = 189.51 cm

답

x = 189.51 cm

9.신뢰구간

답: 상한 = 23.55

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 14, t = 1.761

오차 한계

E = 1.761·10/√15 = 4.547

구간

19 ± 4.547 → [14.45, 23.55]

답

상한 = 23.55

10.신뢰구간

답: σ = 5.993 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 14·3.8² = 202.2

σ²의 한계

202.2/26.119 = 7.74

202.2/5.629 = 35.91

σ의 한계

σ = √35.91 = 5.993 µm

답

σ = 5.993 µm

σ의 95% 구간: [2.782, 5.993] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.9

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

검정통계량

t = (73.2 − 75)/2 = −0.9

답

t = −0.9

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 74.05 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 200 − 1.645·2 = 196.7

참 평균에서의 z

z = (196.7 − 198)/2 = −0.645

제2종 오류

검정력 = P(Z < −0.645) = 25.95%

β = 100% − 25.95% = 74.05%

답

β = 74.05%

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9684

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 149

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 327.5

결정계수

r² = 149²/(70·327.5) = 0.9684

답

r² = 0.9684

y의 변동 중 약 96.84%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 4.96

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 261/5 = 52.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

회귀직선

b = 200/40 = 5

a = 52.2 − 5·6 = 22.2

ŷ = 22.2 + 5·x

x 구하기

x = (47 − 22.2)/5 = 4.96

답

x = 4.96

15.카이제곱 검정

답: χ² = 1.071

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 120·126/180 = 84, 120·54/180 = 36

비흡연자: 60·126/180 = 42, 60·54/180 = 18

카이제곱 통계량

χ² = (87 − 84)²/84 + (33 − 36)²/36 + (39 − 42)²/42 + (21 − 18)²/18

χ² = 1.071

답

χ² = 1.071

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 1

자유도

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

답

df = 1

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