심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

한 학생이 평균 100, 표준편차 15인 검사에서 130점을 받았습니다. z점수는 얼마입니까?

A0.5
B1.5
C3.0
D2.0

2.심리학 연구 방법어려움

심리학의 '재현성 위기'는 무엇을 말합니까?

A발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것
B허락 없이 질문지를 복사하는 것
C실험 참가자가 부족한 것
D학술지가 제출된 모든 재현 연구를 거부하도록 법으로 요구받는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 17, 14, 48, 32, 50, 46, 41.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 38점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 8x = 38

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

σ =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.3로 €6을, 확률 0.01로 €40을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€6: p = 0.3€40: p = 0.01

E(G) = €

7.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 242.75에서 255.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 255.25

P =

8.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 50대, 평균 45.5 h, 알려진 표준 편차 4 h. 모델 2: 휴대전화 50대, 평균 38.5 h, 알려진 표준 편차 17 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 50x̄₁ = 45.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 38.5 hσ₂ = 17 h95%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 8개 구획, 평균 수확량 38.5 kg, 표준 편차 4 kg. 구획 집단 2: 6개 구획, 평균 35 kg, 표준 편차 9.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 8x̄₁ = 38.5s₁ = 4n₂ = 6x̄₂ = 35s₂ = 9.599%t(12) = 3.055

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 50.85, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 50x̄ = 50.85s = 5n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 90%로 검출해야 한다. 표준 편차는 20이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.05검정력 = 90%δ = 2.5σ = 20z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 42Σy = 279Σx² = 364Σy² = 13551Σxy = 2148

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 11)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(3.5, 11)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1002 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 8

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 2.0

이것이 답인 이유

(130 − 100) / 15 = 2. 이 점수는 평균보다 2 표준편차 높으며, 약 97–98%의 사람보다 높습니다.

답

D · 2.0

2.심리학 연구 방법

답: A · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

이것이 답인 이유

대규모 재현 프로젝트에서는 많은 효과가 더 작거나 나타나지 않았으며, 이는 출판 편향, 작은 표본, 유연한 분석과 관련이 있습니다. 사전 등록이 대응책 중 하나입니다.

답

A · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

3.기술통계

답: s = 14.85

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 248/7 = 35.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−18.43)² + (−21.43)² + 12.57² + (−3.429)² + 14.57² + 10.57² + 5.571² = 1324

표준편차

s = √(1324/6) = 14.85

답

s = 14.85

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (38 − 50)/8 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: σ = 0.8367

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

분산

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

σ = √0.7 = 0.8367

답

σ = 0.8367

6.확률

답: E(G) = 0.2 €

순 결과

G: 4 (p = 0.3), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.69)

기댓값

E(G) = 4·0.3 + 38·0.01 − 2·0.69 = 0.2 €

답

E(G) = 0.2 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.7796

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

사이의 넓이

P = Φ(1.05) − Φ(−1.45) = 0.8531 − 0.07353 = 0.7796

답

P = 0.7796

8.정규분포

답: x = 245.8 g

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

답

x = 245.79 g

9.신뢰구간

답: 하한 = 2.159 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 45.5 − 38.5 = 7

표준오차

SE = √(4²/50 + 17²/50) = 2.47

오차 한계

E = 1.96·2.47 = 4.841

구간

7 ± 4.841 → [2.159, 11.84]

답

하한 = 2.159 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: E = 11.3 kg

합동 표준 편차

s_p² = (7·4² + 5·9.5²)/12 = 46.94

s_p = 6.851

오차 한계

E = 3.055·6.851·√(1/8 + 1/6) = 11.3

답

E = 11.3 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

검정통계량

t = (50.85 − 50)/0.5 = 1.7

답

t = 1.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 549

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((1.645 + 1.282)·20/2.5)² = 548.3

올림하기

n = 549

답

n = 549

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9699

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 2148 − 42·279/6 = 195

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 13551 − 279²/6 = 577.5

상관계수

r = 195/√(70·577.5) = 0.9699

답

r = 0.9699

14.선형 회귀와 상관

답: e = −3.5

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 87/6 = 14.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50.5

회귀직선

b = −50.5/17.5 = −2.886

a = 14.5 − (−2.886)·3.5 = 24.6

ŷ = 24.6 − 2.886·x

예측값

ŷ = 24.6 + (−2.886)·3.5 = 14.5

잔차

e = 11 − 14.5 = −3.5

답

e = −3.5

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 2.778

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 40·40/100 = 16, 40·60/100 = 24

여성: 60·40/100 = 24, 60·60/100 = 36

카이제곱 통계량

χ² = (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (20 − 24)²/24 + (40 − 36)²/36

χ² = 2.778

답

χ² = 2.778

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 6

자유도

df = 8 − 1 − 1 = 6

답

df = 6

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