심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

심사위원들의 그림 순위처럼 두 순위 집합 간의 관계에 적절한 통계치는 무엇입니까?

A피어슨 r
B카이제곱
C독립 t검정
D스피어만 로

2.심리학 연구 방법어려움

연구의 표본 크기를 늘리면 가장 직접적으로 어떻게 됩니까?

A표본의 모든 편향이 사라진다
B실제 효과를 탐지할 통계적 검정력이 높아진다
C효과가 있다면 통계적으로 유의한 결과를 보장한다
D효과 크기가 커진다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 15, 43, 43, 55, 36, 15, 34.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 75점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 10x = 75

z =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

7 / 6

P =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.15로 €4을, 확률 0.01로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€4: p = 0.15€20: p = 0.01

E(G) = €

7.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 27.5에서 41 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 27.5x₂ = 41

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 95%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 30개의 표본 평균은 52, 표준편차는 s = 19입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 30x̄ = 52s = 1999%t(29) = 2.756

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 10개의 지름의 표본 표준 편차는 10.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 9에서 χ² 분포의 2.5%는 2.7 아래에, 2.5%는 19.023 위에 있다.

n = 10s = 10.9 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 18명, 평균 점수 103, 표준 편차 9. 집단 2: 학생 8명, 평균 점수 113.6, 표준 편차 12. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 18x̄₁ = 103s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 113.6s₂ = 12

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 116.3입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 116.3σ = 15n = 6490%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (28.5, 80)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(28.5, 80)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1603 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 스피어만 로

이것이 답인 이유

스피어만 순위 상관은 순위를 매긴 두 변수 또는 서열 변수 간의 단조 관계의 강도를 측정합니다.

답

D · 스피어만 로

2.심리학 연구 방법

답: B · 실제 효과를 탐지할 통계적 검정력이 높아진다

이것이 답인 이유

표본이 클수록 표준오차가 줄어 검정력이 높아집니다. 그러나 실제 효과 크기는 변하지 않으며 체계적 편향도 사라지지 않습니다.

답

B · 실제 효과를 탐지할 통계적 검정력이 높아진다

3.기술통계

답: s = 14.88

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 241/7 = 34.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−19.43)² + 8.571² + 8.571² + 20.57² + 1.571² + (−19.43)² + (−0.4286)² = 1328

표준편차

s = √(1328/6) = 14.88

답

s = 14.88

4.기술통계

답: z = 1.5

표준화하기

z = (75 − 60)/10 = 1.5

답

z = 1.5

5.확률

답: P = 0.2692

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692

답

P = 0.2692

6.확률

답: E(G) = −1.2 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 2 (p = 0.15), 18 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

기댓값

E(G) = 2·0.15 + 18·0.01 − 2·0.84 = −1.2 €

답

E(G) = −1.2 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.7066

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (27.5 − 32)/6 = −0.75

z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

사이의 넓이

P = Φ(1.5) − Φ(−0.75) = 0.9332 − 0.2266 = 0.7066

답

P = 0.7066

8.정규분포

답: x = 81.45 점

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 65 + 1.645·10 = 81.45 점

답

x = 81.45 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 61.56

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 29, t = 2.756

오차 한계

E = 2.756·19/√30 = 9.56

구간

52 ± 9.56 → [42.44, 61.56]

답

상한 = 61.56

10.신뢰구간

답: σ = 7.497 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 9·10.9² = 1069

σ²의 한계

1069/19.023 = 56.21

1069/2.7 = 396

σ의 한계

σ = √56.21 = 7.497 µm

답

σ = 7.497 µm

σ의 95% 구간: [7.497, 19.9] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.502

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (17·9² + 7·12²)/24 = 99.38

s_p = 9.969

표준오차

SE = 9.969·√(1/18 + 1/8) = 4.236

검정통계량

t = (103 − 113.6)/4.236 = −2.502

답

t = −2.502

df = 24에서 양측 5% 임곗값은 2.064입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 113.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.645·15/√64 = 3.084

구간 끝값

L = 116.3 − 3.084 = 113.2

답

L = 113.2

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.6696

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 116/6 = 19.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53.33

결정계수

r² = −25²/(17.5·53.33) = 0.6696

답

r² = 0.6696

y의 변동 중 약 66.96%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = −3.25

평균

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 357/5 = 71.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 237

회귀직선

b = 237/90 = 2.633

a = 71.4 − 2.633·24 = 8.2

ŷ = 8.2 + 2.633·x

예측값

ŷ = 8.2 + 2.633·28.5 = 83.25

잔차

e = 80 − 83.25 = −3.25

답

e = −3.25

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 3.175

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 60·112/160 = 42, 60·48/160 = 18

위약: 100·112/160 = 70, 100·48/160 = 30

카이제곱 통계량

χ² = (47 − 42)²/42 + (13 − 18)²/18 + (65 − 70)²/70 + (35 − 30)²/30

χ² = 3.175

답

χ² = 3.175

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 29.09

기대 도수

공장 A: 42, 18

공장 B: 28, 12

공장 C: 42, 18

카이제곱 통계량

χ² = (29 − 42)²/42 + (31 − 18)²/18 + (27 − 28)²/28 + (13 − 12)²/12 + (56 − 42)²/42 + (4 − 18)²/18

χ² = 29.09

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

29.09 > 5.991

답

χ² = 29.09

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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