심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

정규분포에서 점수의 약 몇 %가 평균으로부터 1 표준편차 이내에 있습니까?

A95%
B50%
C68%
D99.7%

2.심리학 연구 방법어려움

크기가 같은 두 독립 집단에 대해 한 연구가 t(28) = 2.50, p = .018을 보고합니다. 참가자는 몇 명이었습니까?

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 30, 10, 60, 30, 41, 27.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 158보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 15x = 158

P =

5.확률보통

11명 중에서 4명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 4

N =

6.확률어려움

부품 5개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.7로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.7

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.0559이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.0559

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 28.5, 표준편차는 s = 9.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 21x̄ = 28.5s = 9.590%t(20) = 1.725

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 17입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 17E = 0.595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 100이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 20로 알려져 있다. 관측값 64개의 확률 표본의 평균은 95.4이다. H₀: μ = 100 대 H₁: μ < 100을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 100σ = 20n = 64x̄ = 95.4H₁: μ < μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 0.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 63)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(3.5, 63)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 버스”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 113열 합계 = 44N = 183

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 9개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 68%

이것이 답인 이유

점수의 약 68%가 ±1 SD, 약 95%가 ±2 SD, 약 99.7%가 ±3 SD 이내에 있습니다.

답

C · 68%

2.심리학 연구 방법

답: D · 30

이것이 답인 이유

자유도 28은 28 + 2 = 30명, 즉 각 집단 15명을 뜻합니다.

답

D · 30

3.기술통계

답: s = 16.59

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 198/6 = 33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−23)² + 27² + (−3)² + 8² + (−6)² = 1376

표준편차

s = √(1376/5) = 16.59

답

s = 16.59

4.기술통계

답: P = 0.2119

표준화하기

z = −0.8

표준정규분포표

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

답

P = 0.2119

5.확률

답: N = 330

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

답

N = 330

6.확률

답: P = 0.03078

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.3⁵ = 0.00243

P(X = 1) = 5·0.7·0.3⁴ = 0.02835

더하기

P = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078

답

P = 0.03078

7.정규분포

답: z = 1.59

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.0559 = 0.9441

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9441을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.59

답

z = 1.59

8.정규분포

답: P = 0.8665

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11

확률

P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665

답

P = 0.8665

9.신뢰구간

답: 상한 = 32.08

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 1.725

오차 한계

E = 1.725·9.5/√21 = 3.576

구간

28.5 ± 3.576 → [24.92, 32.08]

답

상한 = 32.08

10.신뢰구간

답: n = 4441

n에 대해 풀기

n = (1.96·17/0.5)² = 4441

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 4441

답

n = 4441

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.03288

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 20/√64 = 2.5

z = (95.4 − 100)/2.5 = −1.84

꼬리 면적

Φ(1.84) = 0.9671

1 − Φ(1.84) = 0.0329

p값

p = 0.03288

답

p = 0.03288

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 10618

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·20/0.5)² = 10617

올림하기

n = 10618

답

n = 10618

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9543

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 345/6 = 57.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 177

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 491.5

상관계수

r = 177/√(70·491.5) = 0.9543

답

r = 0.9543

14.선형 회귀와 상관

답: e = 3.1

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 355/5 = 71

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

회귀직선

b = 74/10 = 7.4

a = 71 − 7.4·5 = 34

ŷ = 34 + 7.4·x

예측값

ŷ = 34 + 7.4·3.5 = 59.9

잔차

e = 63 − 59.9 = 3.1

답

e = 3.1

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 27.17

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 113·44/183 = 27.17

답

E = 27.17

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 20.09

자유도

df = 9 − 1 = 8

표

χ²_crit(df = 8, α = 0.01) = 20.090

답

χ²_crit = 20.090

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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