심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

심사위원들의 그림 순위처럼 두 순위 집합 간의 관계에 적절한 통계치는 무엇입니까?

A독립 t검정
B카이제곱
C스피어만 로
D피어슨 r

2.심리학 연구 방법어려움

한 메타분석이 어떤 치료에 관한 연구 40편을 종합합니다. 전체 효과 크기가 여전히 너무 클 수 있는 이유는 무엇입니까?

A메타분석은 항상 포함된 단일 연구보다 작은 효과를 주기 때문
B출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다
C연구를 종합하면 항상 모든 편향이 제거된다
D메타분석은 무선화 시험을 포함할 수 없다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 54, 47, 46, 39, 38, 30, 48.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 54점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 5x = 54

z =

5.확률보통

15명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 15k = 5

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.5k = 1

P =

7.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 30.2에서 38 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 30.2x₂ = 38

P =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 45.5, 표준편차는 s = 18입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 11x̄ = 45.5s = 1899%t(10) = 3.169

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 38입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 38E = 2.599%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 202.3, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 202.3s = 15n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 11이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 80%δ = 5σ = 11z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 24.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 24.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 스피어만 로

이것이 답인 이유

스피어만 순위 상관은 순위를 매긴 두 변수 또는 서열 변수 간의 단조 관계의 강도를 측정합니다.

답

C · 스피어만 로

2.심리학 연구 방법

답: B · 출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다

이것이 답인 이유

영가설 결과가 덜 자주 출판되면 통합된 효과가 부풀려집니다. 깔때기 도표와 미출판 자료 탐색이 이를 발견하고 줄이는 데 도움이 됩니다.

답

B · 출판 편향 때문에 출판되지 않은 영가설 연구가 빠져 있을 수 있다

3.기술통계

답: s = 7.967

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 302/7 = 43.14

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10.86² + 3.857² + 2.857² + (−4.143)² + (−5.143)² + (−13.14)² + 4.857² = 380.9

표준편차

s = √(380.9/6) = 7.967

답

s = 7.967

4.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (54 − 60)/5 = −1.2

답

z = −1.2

5.확률

답: N = 3003

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

답

N = 3003

6.확률

답: P = 0.1563

이항분포 공식

P(X = 1) = 5·0.5¹·0.5⁴ = 5·0.5·0.0625 = 0.1563

답

P = 0.1563

7.정규분포

답: P = 0.4593

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

사이의 넓이

P = Φ(1) − Φ(−0.3) = 0.8413 − 0.3821 = 0.4593

답

P = 0.4593

8.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 상한 = 62.7

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·18/√11 = 17.2

구간

45.5 ± 17.2 → [28.3, 62.7]

답

상한 = 62.7

10.신뢰구간

답: n = 1534

n에 대해 풀기

n = (2.576·38/2.5)² = 1533

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 1534

답

n = 1534

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.227

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

검정통계량

t = (202.3 − 200)/1.875 = 1.227

답

t = 1.227

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 49

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 0.842)·11/5)² = 48.58

올림하기

n = 49

답

n = 49

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9875

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 504/6 = 84

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1116

상관계수

r = 276/√(70·1116) = 0.9875

답

r = 0.9875

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 144.8

평균

x̄ = 147/6 = 24.5

ȳ = 869/6 = 144.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 961.5

회귀직선

b = 961.5/157.5 = 6.105

a = 144.8 − 6.105·24.5 = −4.733

ŷ = −4.733 + 6.105·x

예측

ŷ = −4.733 + 6.105·24.5 = 144.8

답

ŷ = 144.8

15.카이제곱 검정

답: χ² = 5.95

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

교직원: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

카이제곱 통계량

χ² = (6 − 6)²/6 + (22 − 16)²/16 + (12 − 18)²/18 + (15 − 15)²/15 + (34 − 40)²/40 + (51 − 45)²/45

χ² = 5.95

답

χ² = 5.95

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 12.59

자유도

df = 8 − 1 − 1 = 6

표

χ²_crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592

답

χ²_crit = 12.592

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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