심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

제1종 오류는 연구자가 어떻게 할 때 일어납니까?

A자료를 너무 많이 수집할 때
B잘못된 통계 검정을 사용할 때
C거짓인 영가설을 기각하지 않을 때
D실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 설문지, 면담, 관찰을 사용하여 직장 스트레스를 연구하고 그 결과가 일치합니다. 이러한 접근을 무엇이라고 합니까?

A층화
B반복 연구
C역균형화
D삼각검증

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 17, 28, 12, 52, 23, 29, 50.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 74보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 5개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 5

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 9개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.1로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.1k = 3

P =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 78.25에서 103 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 78.25x₂ = 103

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 90%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점90%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 6개의 표본 평균은 42.5, 표준편차는 s = 14입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 6x̄ = 42.5s = 1499%t(5) = 4.032

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 18입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 18E = 290%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 30개 표본의 평균 길이는 83 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 13 mm이다. 라인 2: 부품 50개 표본의 평균은 78.3 mm, 알려진 표준 편차는 12 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 30x̄₁ = 83 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 50x̄₂ = 78.3 mmσ₂ = 12 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 15입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 15E = 195%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 42Σy = 450Σx² = 364Σy² = 36486Σxy = 3584

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 18일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 18

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2202 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 3개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

이것이 답인 이유

제1종 오류는 존재하지 않는 효과를 있다고 주장하는 것이며, 그 확률은 유의수준(흔히 0.05)과 같습니다. 제2종 오류는 실제 효과를 놓치는 것입니다.

답

D · 실제로 참인 영가설을 기각할 때

2.심리학 연구 방법

답: D · 삼각검증

이것이 답인 이유

삼각검증은 여러 방법, 자료원 또는 연구자를 사용합니다. 그들 간의 일치는 결과의 타당도에 대한 확신을 높입니다.

답

D · 삼각검증

3.기술통계

답: s = 15.44

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 211/7 = 30.14

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−13.14)² + (−2.143)² + (−18.14)² + 21.86² + (−7.143)² + (−1.143)² + 19.86² = 1431

표준편차

s = √(1431/6) = 15.44

답

s = 15.44

4.기술통계

답: P = 0.6554

표준화하기

z = 0.4

표준정규분포표

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

답

P = 0.6554

5.확률

답: P = 0.2222

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/10 · 4/9 = 20/90 = 0.2222

답

P = 0.2222

6.확률

답: P = 0.04464

이항분포 공식

P(X = 3) = 84·0.1³·0.9⁶ = 84·0.001·0.5314 = 0.04464

답

P = 0.04464

7.정규분포

답: P = 0.5057

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (78.25 − 100)/15 = −1.45

z₂ = (103 − 100)/15 = 0.2

사이의 넓이

P = Φ(0.2) − Φ(−1.45) = 0.5793 − 0.07353 = 0.5057

답

P = 0.5057

8.정규분포

답: x = 52.2 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.1

표에서 구한 z

z ≈ −1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 65 − 1.28·10 = 52.2 점

답

x = 52.2 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 65.54

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 5, t = 4.032

오차 한계

E = 4.032·14/√6 = 23.04

구간

42.5 ± 23.04 → [19.46, 65.54]

답

상한 = 65.54

10.신뢰구간

답: n = 220

n에 대해 풀기

n = (1.645·18/2)² = 219.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 220

답

n = 220

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 1.611

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(13²/30 + 12²/50) = √8.513 = 2.918

검정통계량

z = (83 − 78.3)/2.918 = 1.611

답

z = 1.611

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 865

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/1)² = 864.4

올림하기

n = 865

답

n = 865

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9917

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 3584 − 42·450/6 = 434

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 36486 − 450²/6 = 2736

상관계수

r = 434/√(70·2736) = 0.9917

답

r = 0.9917

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 54.53

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 368/6 = 61.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

회귀직선

b = 238/70 = 3.4

a = 61.33 − 3.4·20 = −6.667

ŷ = −6.667 + 3.4·x

예측

ŷ = −6.667 + 3.4·18 = 54.53

답

ŷ = 54.53

15.카이제곱 검정

답: χ² = 8.963

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 120·33/220 = 18, 120·88/220 = 48, 120·99/220 = 54

야간 근무: 100·33/220 = 15, 100·88/220 = 40, 100·99/220 = 45

카이제곱 통계량

χ² = (15 − 18)²/18 + (40 − 48)²/48 + (65 − 54)²/54 + (18 − 15)²/15 + (48 − 40)²/40 + (34 − 45)²/45

χ² = 8.963

답

χ² = 8.963

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 9.21

자유도

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

표

χ²_crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210

답

χ²_crit = 9.210

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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