심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

평균 50에 대한 95% 신뢰구간이 46에서 54입니다. 가장 정확한 해석은 무엇입니까?

A사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다
B결과가 유의하지 않다
C표본 평균이 50일 확률이 95%이다
D표본 참가자의 95%가 그 측정에서 46에서 54 사이의 점수를 받았다

2.심리학 연구 방법어려움

2 × 3 요인 분산분석에서 약물이 젊은 성인의 기억은 향상시키지만 노인의 기억은 향상시키지 않는 것으로 나타납니다. 무엇이 발견된 것입니까?

A약물과 연령 간의 상호작용
B연령의 주효과만
C제1종 오류
D바닥 효과

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 15, 59, 54, 24.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 200보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 15x = 200

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 3번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 3

P =

6.확률어려움

부품 10개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.6로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.6

P =

7.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 242.75에서 255.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.75x₂ = 255.25

P =

8.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 140.5 h, 알려진 표준 편차 4 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 152 h, 알려진 표준 편차 15 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 140.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 152 hσ₂ = 15 h99%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 10개 구획, 평균 수확량 90 kg, 표준 편차 6.5 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 81.5 kg, 표준 편차 7.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 10x̄₁ = 90s₁ = 6.5n₂ = 7x̄₂ = 81.5s₂ = 7.599%t(15) = 2.947

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 98.24, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 98.24s = 8n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 15입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 15E = 0.595%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 35Σy = 419Σx² = 285Σy² = 35941Σxy = 3113

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 86을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 86

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 중간”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 63열 합계 = 19N = 101

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 6

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

이것이 답인 이유

95% 신뢰구간은 모집단 모수에 대해 그럴듯한 값의 범위를 제시합니다. 더 큰 표본에서 얻은 더 좁은 구간은 더 정밀한 추정을 뜻합니다.

답

A · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

2.심리학 연구 방법

답: A · 약물과 연령 간의 상호작용

이것이 답인 이유

상호작용은 한 요인의 효과가 다른 요인의 수준에 따라 다를 때 생깁니다. 여기서는 약물 효과가 연령 집단에 따라 달라집니다.

답

A · 약물과 연령 간의 상호작용

3.기술통계

답: s = 20.68

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 209/5 = 41.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 15.2² + (−26.8)² + 17.2² + 12.2² + (−17.8)² = 1711

표준편차

s = √(1711/4) = 20.68

답

s = 20.68

4.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = 2

표준정규분포표

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

답

P = 0.02275

5.확률

답: P = 0.4213

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

답

P = 0.4213

6.확률

답: P = 0.001678

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.4¹⁰ = 0.0001049

P(X = 1) = 10·0.6·0.4⁹ = 0.001573

더하기

P = 0.0001049 + 0.001573 = 0.001678

답

P = 0.001678

7.정규분포

답: P = 0.7796

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

사이의 넓이

P = Φ(1.05) − Φ(−1.45) = 0.8531 − 0.07353 = 0.7796

답

P = 0.7796

8.정규분포

답: x = 434.2 h

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

답

x = 434.2 h

9.신뢰구간

답: 상한 = −5.177 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 140.5 − 152 = −11.5

표준오차

SE = √(4²/40 + 15²/40) = 2.455

오차 한계

E = 2.576·2.455 = 6.323

구간

−11.5 ± 6.323 → [−17.82, −5.177]

답

상한 = −5.177 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: 상한 = 18.55 kg

합동 표준 편차

s_p² = (9·6.5² + 6·7.5²)/15 = 47.85

s_p = 6.917

오차 한계

E = 2.947·6.917·√(1/10 + 1/7) = 10.05

구간

8.5 ± 10.05 → [−1.546, 18.55]

답

상한 = 18.55 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√100 = 8/10 = 0.8

검정통계량

t = (98.24 − 100)/0.8 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 3458

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/0.5)² = 3457

올림하기

n = 3458

답

n = 3458

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9886

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 3113 − 35·419/5 = 180

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 35941 − 419²/5 = 828.8

상관계수

r = 180/√(40·828.8) = 0.9886

답

r = 0.9886

14.선형 회귀와 상관

답: x = 22.27

평균

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 509/6 = 84.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 299

회귀직선

b = 299/70 = 4.271

a = 84.83 − 4.271·22 = −9.138

ŷ = −9.138 + 4.271·x

x 구하기

x = (86 − (−9.138))/4.271 = 22.27

답

x = 22.27

15.카이제곱 검정

답: E = 11.85

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 63·19/101 = 11.85

답

E = 11.85

16.카이제곱 검정

답: df = 5

자유도

df = 6 − 1 = 5

답

df = 5

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