심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

출판 편향이란 무엇을 말합니까?

A연구자가 같은 연구를 두 번 출판하는 것
B학술지가 질적 연구만 출판하는 것
C유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것
D심사자가 덜 알려진 대학보다 유명 대학 출신 저자의 논문을 선호하는 것

2.심리학 연구 방법어려움

불안 점수가 극단적으로 높아서 선택된 환자들이 치료 없이도 두 번째 검사에서 더 낮은 점수를 보입니다. 가장 가능성 높은 설명은 무엇입니까?

A평균으로의 회귀
B천장 효과
C호손 효과
D역균형화

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 50, 43, 34, 54, 35, 19.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 47.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 15x = 47.5

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 7번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 7

P =

6.확률어려움

부품 11개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.4로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.4

P =

7.정규분포보통

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 440에서 540 h 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 540

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 15%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점15%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 55.5, 표준편차는 s = 1입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 25x̄ = 55.5s = 199%t(24) = 2.797

하한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 9.1 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.

n = 21s = 9.1 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 72.75, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 72.75s = 5n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 150명 중 38명, 치료 B를 받은 환자 200명 중 72명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 72n₂ = 200

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 35을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 35

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1203 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것

이것이 답인 이유

유의하지 않은 연구가 서랍 속에 남아 있으면 출판된 문헌이 효과 크기를 과대평가하게 되어 메타분석이 왜곡됩니다.

답

C · 유의한 결과를 얻은 연구가 영가설 결과보다 출판될 가능성이 높은 것

2.심리학 연구 방법

답: A · 평균으로의 회귀

이것이 답인 이유

극단 점수로 사람을 선택하면 측정 오차와 우연 때문에 이후 점수가 평균 쪽으로 이동하는 경향이 있습니다. 통제집단은 이를 처치 효과와 구분하는 데 도움이 됩니다.

답

A · 평균으로의 회귀

3.기술통계

답: s = 12.67

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 235/6 = 39.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10.83² + 3.833² + (−5.167)² + 14.83² + (−4.167)² + (−20.17)² = 802.8

표준편차

s = √(802.8/5) = 12.67

답

s = 12.67

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (47.5 − 70)/15 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: P = 0.7209

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

답

P = 0.7209

6.확률

답: P = 0.03023

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.6¹¹ = 0.003628

P(X = 1) = 11·0.4·0.6¹⁰ = 0.02661

더하기

P = 0.003628 + 0.02661 = 0.03023

답

P = 0.03023

7.정규분포

답: P = 0.7745

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

사이의 넓이

P = Φ(1) − Φ(−1.5) = 0.8413 − 0.06681 = 0.7745

답

P = 0.7745

8.정규분포

답: x = 115.6 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.85

표에서 구한 z

z ≈ 1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 점

답

x = 115.6 점

9.신뢰구간

답: 하한 = 54.94

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.797

오차 한계

E = 2.797·1/√25 = 0.5594

구간

55.5 ± 0.5594 → [54.94, 56.06]

답

하한 = 54.94

10.신뢰구간

답: σ = 6.962 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 20·9.1² = 1656

σ²의 한계

1656/34.17 = 48.47

1656/9.591 = 172.7

σ의 한계

σ = √48.47 = 6.962 µm

답

σ = 6.962 µm

σ의 95% 구간: [6.962, 13.14] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

검정통계량

t = (72.75 − 75)/1.25 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.127

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 38/150 = 0.2533

p̂₂ = 72/200 = 0.36

p̂ = 110/350 = 0.3143

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.3143·0.6857·(1/150 + 1/200)) = 0.05014

검정통계량

z = (0.2533 − 0.36)/0.05014 = −2.127

답

z = −2.127

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9615

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 141/6 = 23.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 57.5

상관계수

r = −30.5/√(17.5·57.5) = −0.9615

답

r = −0.9615

14.선형 회귀와 상관

답: x = 2.39

평균

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 227/6 = 37.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23.5

회귀직선

b = 23.5/17.5 = 1.343

a = 37.83 − 1.343·4.5 = 31.79

ŷ = 31.79 + 1.343·x

x 구하기

x = (35 − 31.79)/1.343 = 2.39

답

x = 2.39

15.카이제곱 검정

답: χ² = 0.6611

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

농촌: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

카이제곱 통계량

χ² = (5 − 6)²/6 + (18 − 16)²/16 + (17 − 18)²/18 + (16 − 15)²/15 + (38 − 40)²/40 + (46 − 45)²/45

χ² = 0.6611

답

χ² = 0.6611

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 5.833

기대 도수

18–30세: 24, 16

31–50세: 24, 16

51세 이상: 24, 16

카이제곱 통계량

χ² = (22 − 24)²/24 + (18 − 16)²/16 + (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (20 − 16)²/16

χ² = 5.833

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

5.833 < 5.991

답

χ² = 5.833

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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