심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

조건마다 다른 참가자를 사용하는 설계는 무엇입니까?

A피험자 내 설계
B반복측정 설계
C같은 사람을 쓰는 짝짓기 설계
D독립집단 설계

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 설문지, 면담, 관찰을 사용하여 직장 스트레스를 연구하고 그 결과가 일치합니다. 이러한 접근을 무엇이라고 합니까?

A삼각검증
B반복 연구
C역균형화
D층화

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 39, 17, 28, 23, 41.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 67.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 60σ = 5x = 67.5

z =

5.확률보통

10명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 10k = 3

N =

6.확률어려움

부품 12개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 12p = 0.3

P =

7.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 16개의 총 질량이 398 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 16> 398 kg

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 80%가 그 아래에 있는 값 x(80 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 65σ = 10P = 80%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 96.5, 표준편차는 s = 18입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 25x̄ = 96.5s = 1895%t(24) = 2.064

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 27입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 27E = 499%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 495.5, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 495.5s = 10n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 290%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 34)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(7, 34)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 독립집단 설계

이것이 답인 이유

독립집단 설계에서는 조건마다 참가자가 다르므로 순서 효과는 피하지만 참가자 변수의 위험이 있습니다.

답

D · 독립집단 설계

2.심리학 연구 방법

답: A · 삼각검증

이것이 답인 이유

삼각검증은 여러 방법, 자료원 또는 연구자를 사용합니다. 그들 간의 일치는 결과의 타당도에 대한 확신을 높입니다.

답

A · 삼각검증

3.기술통계

답: s = 10.29

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 148/5 = 29.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 9.4² + (−12.6)² + (−1.6)² + (−6.6)² + 11.4² = 423.2

표준편차

s = √(423.2/4) = 10.29

답

s = 10.29

4.기술통계

답: z = 1.5

표준화하기

z = (67.5 − 60)/5 = 1.5

답

z = 1.5

5.확률

답: N = 120

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

답

N = 120

6.확률

답: P = 0.08503

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

더하기

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

답

P = 0.08503

7.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 400 kg, σ_T = 0.5·√16 = 2 kg

표준화하기

z = (398 − 400)/2 = −1

확률

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

답

P = 0.8413

8.정규분포

답: x = 73.42 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

다시 x로

x = 65 + 0.8416·10 = 73.42 점

답

x = 73.42 점

9.신뢰구간

답: E = 7.43

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.064

오차 한계

E = 2.064·18/√25 = 7.43

답

E = 7.43

10.신뢰구간

답: n = 303

n에 대해 풀기

n = (2.576·27/4)² = 302.3

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 303

답

n = 303

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

검정통계량

t = (495.5 − 500)/2.5 = −1.8

답

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 271

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/2)² = 270.6

올림하기

n = 271

답

n = 271

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.957

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 398/6 = 66.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 421.3

결정계수

r² = 84²/(17.5·421.3) = 0.957

답

r² = 0.957

y의 변동 중 약 95.7%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 5.2

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

회귀직선

b = 152/40 = 3.8

a = 25 − 3.8·6 = 2.2

ŷ = 2.2 + 3.8·x

예측값

ŷ = 2.2 + 3.8·7 = 28.8

잔차

e = 34 − 28.8 = 5.2

답

e = 5.2

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 17.5

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 120·60/200 = 36, 120·60/200 = 36, 120·80/200 = 48

농촌: 80·60/200 = 24, 80·60/200 = 24, 80·80/200 = 32

카이제곱 통계량

χ² = (24 − 36)²/36 + (36 − 36)²/36 + (60 − 48)²/48 + (36 − 24)²/24 + (24 − 24)²/24 + (20 − 32)²/32

χ² = 17.5

답

χ² = 17.5

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 12.93

기대 도수

1라인: 18, 42

2라인: 30, 70

3라인: 12, 28

카이제곱 통계량

χ² = (12 − 18)²/18 + (48 − 42)²/42 + (27 − 30)²/30 + (73 − 70)²/70 + (21 − 12)²/12 + (19 − 28)²/28

χ² = 12.93

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

12.93 > 9.210

답

χ² = 12.93

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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