심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

반분 신뢰도는 무엇을 포함합니까?

A두 관찰자가 각각 회기의 절반씩 맡는 것
B표본의 두 절반을 서로 다른 시간에 검사하는 것
C표본을 실험집단과 통제집단으로 나누어 점수를 비교하는 것
D내적 일관성을 확인하기 위해 같은 검사의 두 절반의 점수를 비교하는 것

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 한 자료로 20가지 분석을 하고 p < 0.05인 하나만 보고합니다. 이러한 관행을 무엇이라고 합니까?

A사전 등록
Bp-해킹
C삼각검증
D역균형화

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 19, 23, 43, 24, 22, 49.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 65점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 10x = 65

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 2번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 2

P =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 10입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.3, 0.15Y = 2X + 10

σ_Y =

7.정규분포보통

X는 평균 120 mm, 표준편차 0.3 mm인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 80 mm, 표준편차 0.4 mm인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 200.3 mm보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.3 mm

P =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 6개의 표본 평균은 43.5, 표준편차는 s = 6입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 6x̄ = 43.5s = 699%t(5) = 4.032

하한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 8E = 0.595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 76.51, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 76.51s = 8n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 100명 중 25명, 치료 B를 받은 환자 150명 중 24명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 24n₂ = 150

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 69을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 69

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 802 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 내적 일관성을 확인하기 위해 같은 검사의 두 절반의 점수를 비교하는 것

이것이 답인 이유

두 절반이 같은 구성개념을 측정한다면 그 점수는 높은 상관을 보여야 합니다. 크론바흐 알파는 이 생각을 가능한 모든 분할로 확장합니다.

답

D · 내적 일관성을 확인하기 위해 같은 검사의 두 절반의 점수를 비교하는 것

2.심리학 연구 방법

답: B · p-해킹

이것이 답인 이유

p-해킹은 분석의 유연성을 이용해 유의성을 얻어 거짓 양성률을 5%보다 훨씬 높입니다. 사전 등록과 투명한 보고가 이를 줄입니다.

답

B · p-해킹

3.기술통계

답: s = 12.65

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 180/6 = 30

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−11)² + (−7)² + 13² + (−6)² + (−8)² + 19² = 800

표준편차

s = √(800/5) = 12.65

답

s = 12.65

4.기술통계

답: z = −0.5

표준화하기

z = (65 − 70)/10 = −0.5

답

z = −0.5

5.확률

답: P = 0.3056

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

답

P = 0.3056

6.확률

답: σ_Y = 2.179

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 2.25, Var(X) = 1.188, σ_X = 1.09

일차 변환

σ_Y = |2|·1.09 = 2.179

답

σ_Y = 2.179

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·2.25 + 10 = 14.5.

7.정규분포

답: P = 0.2743

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

표준화하기

z = (200.3 − 200)/0.5 = 0.6

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(0.6) = 1 − 0.7257 = 0.2743

답

P = 0.2743

8.정규분포

답: P = 0.9099

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

확률

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

답

P = 0.9099

9.신뢰구간

답: 하한 = 33.62

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 5, t = 4.032

오차 한계

E = 4.032·6/√6 = 9.876

구간

43.5 ± 9.876 → [33.62, 53.38]

답

하한 = 33.62

10.신뢰구간

답: n = 984

n에 대해 풀기

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 984

답

n = 984

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.699

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

검정통계량

t = (76.51 − 75)/0.8889 = 1.699

답

t = 1.699

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 1.756

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 25/100 = 0.25

p̂₂ = 24/150 = 0.16

p̂ = 49/250 = 0.196

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.196·0.804·(1/100 + 1/150)) = 0.05125

검정통계량

z = (0.25 − 0.16)/0.05125 = 1.756

답

z = 1.756

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.996

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 512/5 = 102.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1525

상관계수

r = 246/√(40·1525) = 0.996

답

r = 0.996

14.선형 회귀와 상관

답: x = 11.02

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 332/6 = 55.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

회귀직선

b = 238/70 = 3.4

a = 55.33 − 3.4·7 = 31.53

ŷ = 31.53 + 3.4·x

x 구하기

x = (69 − 31.53)/3.4 = 11.02

답

x = 11.02

15.카이제곱 검정

답: χ² = 1.071

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16

야간 근무: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16

카이제곱 통계량

χ² = (10 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (18 − 16)²/16 + (10 − 10)²/10 + (16 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16

χ² = 1.071

답

χ² = 1.071

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 14.07

자유도

df = 8 − 1 = 7

표

χ²_crit(df = 7, α = 0.05) = 14.067

답

χ²_crit = 14.067

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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