심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

반복측정 설계에서 순서 효과는 무엇으로 통제할 수 있습니까?

A역균형화(카운터밸런싱)
B표본을 크게 하는 것만
C무선 표집
D단일맹검 절차

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 t검정을 다섯 번 실시하고 본페로니 교정을 사용하여 전체 제1종 오류율을 0.05로 유지하려고 합니다. 각 검정은 어떤 유의수준을 사용해야 합니까?

A0.025
B0.25
C0.05
D0.01

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 52, 14, 24, 60, 54.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 46보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 5x = 46

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 9개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 9

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.6로 맞힙니다. 정확히 3개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.6k = 3

P =

7.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 30.5에서 42.8 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 30.5x₂ = 42.8

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

9.신뢰구간보통

항목 30개의 표본 평균은 48.5, 표준편차는 s = 10입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 30x̄ = 48.5s = 1090%t(29) = 1.699

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 14입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 14E = 2.599%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 497.8, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 500x̄ = 497.8s = 10n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 100명 중 20명, 치료 B를 받은 환자 120명 중 36명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 36n₂ = 120

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 24을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 24

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “학생, 자전거”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 100열 합계 = 49N = 151

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 역균형화(카운터밸런싱)

이것이 답인 이유

역균형화는 연습 효과와 피로 효과를 조건들에 고르게 분배합니다.

답

A · 역균형화(카운터밸런싱)

2.심리학 연구 방법

답: D · 0.01

이것이 답인 이유

본페로니 교정은 α를 비교 횟수로 나눕니다: 0.05 / 5 = 0.01. 간단하지만 보수적이어서 제2종 오류 위험을 높입니다.

답

D · 0.01

3.기술통계

답: s = 20.43

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 204/5 = 40.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 11.2² + (−26.8)² + (−16.8)² + 19.2² + 13.2² = 1669

표준편차

s = √(1669/4) = 20.43

답

s = 20.43

4.기술통계

답: P = 0.7881

표준화하기

z = −0.8

표준정규분포표

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

답

P = 0.7881

5.확률

답: P = 0.1099

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0.1099

답

P = 0.1099

6.확률

답: P = 0.04247

이항분포 공식

P(X = 3) = 120·0.6³·0.4⁷ = 120·0.216·0.001638 = 0.04247

답

P = 0.04247

7.정규분포

답: P = 0.5628

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25

z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8

사이의 넓이

P = Φ(1.8) − Φ(−0.25) = 0.9641 − 0.4013 = 0.5628

답

P = 0.5628

8.정규분포

답: x = 194.3 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm

답

x = 194.28 cm

9.신뢰구간

답: 상한 = 51.6

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 29, t = 1.699

오차 한계

E = 1.699·10/√30 = 3.102

구간

48.5 ± 3.102 → [45.4, 51.6]

답

상한 = 51.6

10.신뢰구간

답: n = 209

n에 대해 풀기

n = (2.576·14/2.5)² = 208.1

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 209

답

n = 209

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.88

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

검정통계량

t = (497.8 − 500)/2.5 = −0.88

답

t = −0.88

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −1.695

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 20/100 = 0.2

p̂₂ = 36/120 = 0.3

p̂ = 56/220 = 0.2545

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.2545·0.7455·(1/100 + 1/120)) = 0.05898

검정통계량

z = (0.2 − 0.3)/0.05898 = −1.695

답

z = −1.695

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9973

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 52/5 = 10.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 109.2

결정계수

r² = 66²/(40·109.2) = 0.9973

답

r² = 0.9973

y의 변동 중 약 99.73%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: x = 1.143

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

회귀직선

b = −14/10 = −1.4

a = 21.4 − (−1.4)·3 = 25.6

ŷ = 25.6 − 1.4·x

x 구하기

x = (24 − 25.6)/(−1.4) = 1.143

답

x = 1.143

15.카이제곱 검정

답: E = 32.45

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 100·49/151 = 32.45

답

E = 32.45

16.카이제곱 검정

답: χ² = 14.44

기대 도수

18–30세: 60, 40

31–50세: 36, 24

51세 이상: 36, 24

카이제곱 통계량

χ² = (65 − 60)²/60 + (35 − 40)²/40 + (24 − 36)²/36 + (36 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (17 − 24)²/24

χ² = 14.44

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

14.44 > 5.991

답

χ² = 14.44

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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