심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 성별이 기억 점수에 미치는 영향을 연구합니다. 이것이 진실험이 아니라 준실험인 이유는 무엇입니까?

A독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다
B종속변수를 측정하지 않는다
C연구가 실험실에서 이루어진다
D조건이 두 개뿐인데 진실험에는 독립변수의 수준이 최소 세 개 필요하기 때문이다

2.심리학 연구 방법어려움

근거 이론에서 자료 수집은 언제까지 계속됩니까?

A적어도 1,000명을 면담할 때까지
B이론적 포화에 도달하여 새로운 자료가 새 범주를 더하지 않을 때까지
C0.05 미만의 p값을 얻을 때까지
D원래 가설이 확증될 때까지

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 55, 39, 49, 53, 44, 17.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 75보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 12x = 75

P =

5.확률보통

6명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 6k = 2

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 10개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.3로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.3k = 5

P =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 92.5에서 122.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 92.5x₂ = 122.5

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 75%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점75%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 9개의 표본 평균은 76, 표준편차는 s = 6입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 9x̄ = 76s = 690%t(8) = 1.86

상한 =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 9개 구획, 평균 수확량 69.5 kg, 표준 편차 9 kg. 구획 집단 2: 22개 구획, 평균 74.5 kg, 표준 편차 8 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 9x̄₁ = 69.5s₁ = 9n₂ = 22x̄₂ = 74.5s₂ = 899%t(29) = 2.756

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 81명 표본의 평균 점수는 77.8, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 77.8s = 12n = 81

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 1.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 9

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

이것이 답인 이유

준실험에서 독립변수는 사람들 사이에 자연적으로 존재하는 차이입니다. 무선 배정이 없으므로 집단 간 다른 차이가 결과를 혼입시킬 수 있습니다.

답

A · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

2.심리학 연구 방법

답: B · 이론적 포화에 도달하여 새로운 자료가 새 범주를 더하지 않을 때까지

이것이 답인 이유

근거 이론은 자료를 수집하고 부호화하는 것을 함께 하면서 귀납적으로 이론을 발전시키며, 새로운 자료가 더 이상 범주를 발전시키지 않으면 표집을 멈춥니다.

답

B · 이론적 포화에 도달하여 새로운 자료가 새 범주를 더하지 않을 때까지

3.기술통계

답: s = 13.95

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 257/6 = 42.83

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 12.17² + (−3.833)² + 6.167² + 10.17² + 1.167² + (−25.83)² = 972.8

표준편차

s = √(972.8/5) = 13.95

답

s = 13.95

4.기술통계

답: P = 0.8944

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

답

P = 0.8944

5.확률

답: N = 15

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

답

N = 15

6.확률

답: P = 0.1029

이항분포 공식

P(X = 5) = 252·0.3⁵·0.7⁵ = 252·0.00243·0.1681 = 0.1029

답

P = 0.1029

7.정규분포

답: P = 0.6247

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (92.5 − 100)/15 = −0.5

z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5

사이의 넓이

P = Φ(1.5) − Φ(−0.5) = 0.9332 − 0.3085 = 0.6247

답

P = 0.6247

8.정규분포

답: x = 58.3 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 65 − 0.67·10 = 58.3 점

답

x = 58.3 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 79.72

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 1.86

오차 한계

E = 1.86·6/√9 = 3.72

구간

76 ± 3.72 → [72.28, 79.72]

답

상한 = 79.72

10.신뢰구간

답: E = 9.038 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (8·9² + 21·8²)/29 = 68.69

s_p = 8.288

오차 한계

E = 2.756·8.288·√(1/9 + 1/22) = 9.038

답

E = 9.038 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

검정통계량

t = (77.8 − 75)/1.333 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 1180

n에 대해 풀기

n = (2.576·20/1.5)² = 1180

올림하기

n = 1180

답

n = 1180

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9399

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 65.2

상관계수

r = −24/√(10·65.2) = −0.9399

답

r = −0.9399

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 68.9

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 262/5 = 52.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

회귀직선

b = 220/40 = 5.5

a = 52.4 − 5.5·6 = 19.4

ŷ = 19.4 + 5.5·x

예측

ŷ = 19.4 + 5.5·9 = 68.9

답

ŷ = 68.9

15.카이제곱 검정

답: χ² = 0.6778

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 40·32/160 = 8, 40·48/160 = 12, 40·80/160 = 20

야간 근무: 120·32/160 = 24, 120·48/160 = 36, 120·80/160 = 60

카이제곱 통계량

χ² = (7 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (19 − 20)²/20 + (25 − 24)²/24 + (34 − 36)²/36 + (61 − 60)²/60

χ² = 0.6778

답

χ² = 0.6778

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 40.01

기대 도수

공장 A: 45, 15

공장 B: 30, 10

공장 C: 75, 25

카이제곱 통계량

χ² = (31 − 45)²/45 + (29 − 15)²/15 + (25 − 30)²/30 + (15 − 10)²/10 + (94 − 75)²/75 + (6 − 25)²/25

χ² = 40.01

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

40.01 > 9.210

답

χ² = 40.01

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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