심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

횡단 연구가 같은 시점에 20세, 40세, 60세의 기술 사용을 비교합니다. 어떤 문제가 연령 비교를 혼입시킬 수 있습니까?

A바닥 효과
B코호트 효과
C연습 효과
D순서 효과

2.심리학 연구 방법어려움

어떤 연구에서 한 질문지가 같은 구성개념을 측정하는 공인된 검사와 강한 상관을 보였습니다. 이것이 지지하는 것은 무엇입니까?

A공인 타당도(동시 타당도)
B안면 타당도
C검사-재검사 신뢰도
D생태학적 타당도

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 43, 10, 14, 13, 47, 37, 29.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 77.2점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 70σ = 12x = 77.2

z =

5.확률보통

11명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 3

N =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €2이 듭니다. 확률 0.1로 €6을, 확률 0.02로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €2€6: p = 0.1€100: p = 0.02

E(G) = €

7.정규분포보통

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 242.5에서 260.25 g 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 250σ = 5x₁ = 242.5x₂ = 260.25

P =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 97.5%

x = min

9.신뢰구간보통

항목 13개의 표본 평균은 116.5, 표준편차는 s = 19입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 13x̄ = 116.5s = 1999%t(12) = 3.055

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 20E = 2.599%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 199.1, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 199.1s = 5n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 81개의 표본 평균은 202.7입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 202.7σ = 15n = 8190%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 3

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “도시, 높음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 108열 합계 = 55N = 168

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2603 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 코호트 효과

이것이 답인 이유

연령 집단마다 서로 다른 역사적 조건에서 자랐으므로, 차이가 노화 자체가 아니라 세대(코호트)를 반영할 수 있습니다.

답

B · 코호트 효과

2.심리학 연구 방법

답: A · 공인 타당도(동시 타당도)

이것이 답인 이유

공인 타당도는 새로운 측정이 거의 같은 시점에 실시한 공인된 측정과 일치할 때 입증됩니다.

답

A · 공인 타당도(동시 타당도)

3.기술통계

답: s = 15.34

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 193/7 = 27.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 15.43² + (−17.57)² + (−13.57)² + (−14.57)² + 19.43² + 9.429² + 1.429² = 1412

표준편차

s = √(1412/6) = 15.34

답

s = 15.34

4.기술통계

답: z = 0.6

표준화하기

z = (77.2 − 70)/12 = 0.6

답

z = 0.6

5.확률

답: N = 165

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

답

N = 165

6.확률

답: E(G) = 0.6 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 4 (p = 0.1), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)

기댓값

E(G) = 4·0.1 + 98·0.02 − 2·0.88 = 0.6 €

답

E(G) = 0.6 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.913

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5

z₂ = (260.25 − 250)/5 = 2.05

사이의 넓이

P = Φ(2.05) − Φ(−1.5) = 0.9798 − 0.06681 = 0.913

답

P = 0.913

8.정규분포

답: x = 43.76 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min

답

x = 43.76 min

9.신뢰구간

답: 상한 = 132.6

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 12, t = 3.055

오차 한계

E = 3.055·19/√13 = 16.1

구간

116.5 ± 16.1 → [100.4, 132.6]

답

상한 = 132.6

10.신뢰구간

답: n = 425

n에 대해 풀기

n = (2.576·20/2.5)² = 424.7

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 425

답

n = 425

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.44

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

검정통계량

t = (199.1 − 200)/0.625 = −1.44

답

t = −1.44

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 205.4

오차 한계

E = 1.645·15/√81 = 2.742

구간 끝값

U = 202.7 + 2.742 = 205.4

답

U = 205.4

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9414

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 122.8

결정계수

r² = −34²/(10·122.8) = 0.9414

답

r² = 0.9414

y의 변동 중 약 94.14%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 12.1

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

회귀직선

b = 172/40 = 4.3

a = 25 − 4.3·6 = −0.8

ŷ = −0.8 + 4.3·x

예측

ŷ = −0.8 + 4.3·3 = 12.1

답

ŷ = 12.1

15.카이제곱 검정

답: E = 35.36

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 108·55/168 = 35.36

답

E = 35.36

16.카이제곱 검정

답: χ² = 2.587

기대 도수

공장 A: 75, 25

공장 B: 60, 20

공장 C: 60, 20

카이제곱 통계량

χ² = (79 − 75)²/75 + (21 − 25)²/25 + (55 − 60)²/60 + (25 − 20)²/20 + (61 − 60)²/60 + (19 − 20)²/20

χ² = 2.587

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

2.587 < 9.210

답

χ² = 2.587

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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