심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

현장 실험에서 연구자는 무엇을 합니까?

A실제 환경에서 독립변수를 조작한다
B다른 사람이 수집한 자료를 분석한다
C아무것도 조작하지 않고 관찰만 한다
D실험실에서 독립변수를 조작한다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 슬픈 영화를 보여 주어 기분을 조작한 뒤, 본 과제 전에 참가자에게 얼마나 슬픈지 평정하게 합니다. 이 평정을 포함하는 이유는 무엇입니까?

A참가자에게 목적을 디브리핑하기 위해
B조건의 순서를 역균형화하기 위해
C연구의 주요 종속변수로
D독립변수가 의도대로 작용했는지 확인하는 조작 점검으로

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 46, 12, 32, 26, 45, 50.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 44점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 12x = 44

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.25, 0.1, 0.2, 0.15

σ =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.25로 €50을, 확률 0.05로 €100을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€50: p = 0.25€100: p = 0.05

E(G) = €

7.정규분포보통

볼트의 질량은 독립이며 평균 40 g, 표준편차 1.2 g인 정규분포를 따릅니다. 그중 12개의 총 질량이 477.9 g을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12> 477.9 g

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 5%

x = 점

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 80대, 평균 105.5 h, 알려진 표준 편차 17 h. 모델 2: 휴대전화 30대, 평균 94 h, 알려진 표준 편차 3 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 80x̄₁ = 105.5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 94 hσ₂ = 3 h90%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.15이(가) 불량이다. 비율에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.03이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.15E = 0.0390%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 116.6, 표본 표준편차는 15입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 116.6s = 15n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 25개의 표본 평균은 508.7입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 508.7σ = 15n = 2595%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 21Σy = 82Σx² = 91Σy² = 1304Σxy = 231

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 7일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 7

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 실제 환경에서 독립변수를 조작한다

이것이 답인 이유

거리에서 연출한 도움 상황 같은 현장 실험은 생태학적 타당도를 높이지만 외재변수 통제가 덜하고 동의 문제가 생깁니다.

답

A · 실제 환경에서 독립변수를 조작한다

2.심리학 연구 방법

답: D · 독립변수가 의도대로 작용했는지 확인하는 조작 점검으로

이것이 답인 이유

조작 점검은 독립변수가 의도한 심리 상태를 만들었는지 확인합니다. 이것이 없으면 영가설 결과가 조작 실패를 뜻할 수도 있습니다.

답

D · 독립변수가 의도대로 작용했는지 확인하는 조작 점검으로

3.기술통계

답: s = 14.59

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 211/6 = 35.17

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10.83² + (−23.17)² + (−3.167)² + (−9.167)² + 9.833² + 14.83² = 1065

표준편차

s = √(1065/5) = 14.59

답

s = 14.59

4.기술통계

답: z = −0.5

표준화하기

z = (44 − 50)/12 = −0.5

답

z = −0.5

5.확률

답: σ = 1.459

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.15 = 1.65

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.15 = 4.85

분산

Var(X) = 4.85 − 1.65² = 2.127

σ = √2.127 = 1.459

답

σ = 1.459

6.확률

답: E(G) = 7.5 €

순 결과

G: 40 (p = 0.25), 90 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

기댓값

E(G) = 40·0.25 + 90·0.05 − 10·0.7 = 7.5 €

답

E(G) = 7.5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.695

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 480 g, σ_T = 1.2·√12 = 4.157 g

표준화하기

z = (477.9 − 480)/4.157 = −0.51

확률

P = 1 − Φ(−0.51) = 0.695

답

P = 0.695

8.정규분포

답: x = 75.33 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 점

답

x = 75.33 점

9.신뢰구간

답: 상한 = 14.75 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 105.5 − 94 = 11.5

표준오차

SE = √(17²/80 + 3²/30) = 1.978

오차 한계

E = 1.645·1.978 = 3.254

구간

11.5 ± 3.254 → [8.246, 14.75]

답

상한 = 14.75 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: n = 384

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.645²·0.15·0.85/0.03² = 383.4

올림하기

n = 384

답

n = 384

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.9067

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

검정통계량

t = (116.6 − 120)/3.75 = −0.9067

답

t = −0.9067

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 502.8

오차 한계

E = 1.96·15/√25 = 5.88

구간 끝값

L = 508.7 − 5.88 = 502.8

답

L = 502.8

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9887

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 231 − 21·82/6 = −56

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 1304 − 82²/6 = 183.3

상관계수

r = −56/√(17.5·183.3) = −0.9887

답

r = −0.9887

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 25.17

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 221

회귀직선

b = 221/70 = 3.157

a = 25.17 − 3.157·7 = 3.067

ŷ = 3.067 + 3.157·x

예측

ŷ = 3.067 + 3.157·7 = 25.17

답

ŷ = 25.17

15.카이제곱 검정

답: χ² = 4.242

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 60·77/140 = 33, 60·63/140 = 27

비흡연자: 80·77/140 = 44, 80·63/140 = 36

카이제곱 통계량

χ² = (39 − 33)²/33 + (21 − 27)²/27 + (38 − 44)²/44 + (42 − 36)²/36

χ² = 4.242

답

χ² = 4.242

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 25

기대 도수

18–30세: 36, 24

31–50세: 60, 40

51세 이상: 24, 16

카이제곱 통계량

χ² = (39 − 36)²/36 + (21 − 24)²/24 + (45 − 60)²/60 + (55 − 40)²/40 + (36 − 24)²/24 + (4 − 16)²/16

χ² = 25

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

25 > 9.210

답

χ² = 25

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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