심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

생태학적 타당도란 무엇을 말합니까?

A검사가 올바른 것을 측정하는 것처럼 보이는지
B검사가 미래 행동을 예측하는지
C검사가 시간에 걸쳐 얼마나 일관된지
D연구 결과가 실제 생활 상황에 얼마나 잘 일반화되는지

2.심리학 연구 방법어려움

한 심리학과가 심리학 개론 수강생에게서만 참가자를 모집합니다. 비판자들은 표본이 "WEIRD"하다고 말합니다. 이것은 무엇을 가리킵니까?

A가중 무선 방법으로 모집한 표본
B행동이 유난히 이상한 표본
C연구에서 일찍 탈락하는 표본
D일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 38, 53, 32, 41, 54, 38, 10.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 152점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 12x = 152

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 7번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 7

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 9개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.5k = 4

P =

7.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 113 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 113 s

P =

8.정규분포어려움

배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 15%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 30대, 평균 86 h, 알려진 표준 편차 9 h. 모델 2: 휴대전화 80대, 평균 99 h, 알려진 표준 편차 13 h. μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 30x̄₁ = 86 hσ₁ = 9 hn₂ = 80x̄₂ = 99 hσ₂ = 13 h95%

E = h

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 8.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.

n = 21s = 8.9 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 120이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 8로 알려져 있다. 관측값 64개의 확률 표본의 평균은 122.38이다. H₀: μ = 120 대 H₁: μ ≠ 120을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 120σ = 8n = 64x̄ = 122.38H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 100명 중 70명, 치료 B를 받은 환자 200명 중 168명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 168n₂ = 200

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (6, 80)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(6, 80)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “주간 근무, 중대한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 100열 합계 = 76N = 200

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 연구 결과가 실제 생활 상황에 얼마나 잘 일반화되는지

이것이 답인 이유

생태학적 타당도는 결과가 일상 상황에 적용되는지에 관한 것입니다. 엄격히 통제된 실험실 연구는 이 점에서 낮은 경우가 많습니다.

답

D · 연구 결과가 실제 생활 상황에 얼마나 잘 일반화되는지

2.심리학 연구 방법

답: D · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

이것이 답인 이유

헨릭(Henrich)과 동료들은 대부분의 심리학 참가자가 인류를 대표하지 않는 WEIRD 사회 출신이라는 점을 지적했으며, 이는 모집단 타당도를 위협합니다.

답

D · 일반화되지 않을 수 있는 서구적, 교육받은, 산업화된, 부유한, 민주적인 표본

3.기술통계

답: s = 14.78

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 266/7 = 38

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 0² + 15² + (−6)² + 3² + 16² + 0² + (−28)² = 1310

표준편차

s = √(1310/6) = 14.78

답

s = 14.78

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (152 − 170)/12 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: P = 0.7209

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

답

P = 0.7209

6.확률

답: P = 0.2461

이항분포 공식

P(X = 4) = 126·0.5⁴·0.5⁵ = 126·0.0625·0.03125 = 0.2461

답

P = 0.2461

7.정규분포

답: P = 0.1056

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (113 − 105)/6.403 = 1.25

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

8.정규분포

답: x = 458 h

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.15

표에서 구한 z

z ≈ −1.04

원래 단위로 되돌리기

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

답

x = 458 h

9.신뢰구간

답: E = 4.3 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 86 − 99 = −13

표준오차

SE = √(9²/30 + 13²/80) = 2.194

오차 한계

E = 1.96·2.194 = 4.3

답

E = 4.3 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: σ = 12.85 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 20·8.9² = 1584

σ²의 한계

1584/34.17 = 46.36

1584/9.591 = 165.2

σ의 한계

σ = √165.2 = 12.85 µm

답

σ = 12.85 µm

σ의 95% 구간: [6.809, 12.85] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.01731

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (122.38 − 120)/1 = 2.38

꼬리 면적

Φ(2.38) = 0.9913

1 − Φ(2.38) = 0.0087

p값

p = 2·0.0087 = 0.01731

답

p = 0.01731

p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.823

표본 비율

p̂₁ = 70/100 = 0.7

p̂₂ = 168/200 = 0.84

p̂ = 238/300 = 0.7933

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.7933·0.2067·(1/100 + 1/200)) = 0.04959

검정통계량

z = (0.7 − 0.84)/0.04959 = −2.823

답

z = −2.823

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9538

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 66/6 = 11

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162

결정계수

r² = 104²/(70·162) = 0.9538

답

r² = 0.9538

y의 변동 중 약 95.38%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = −4.95

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 389/5 = 77.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 286

회귀직선

b = 286/40 = 7.15

a = 77.8 − 7.15·5 = 42.05

ŷ = 42.05 + 7.15·x

예측값

ŷ = 42.05 + 7.15·6 = 84.95

잔차

e = 80 − 84.95 = −4.95

답

e = −4.95

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 38

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 100·76/200 = 38

답

E = 38

16.카이제곱 검정

답: χ² = 3.906

기대 도수

공장 A: 24, 16

공장 B: 48, 32

공장 C: 48, 32

카이제곱 통계량

χ² = (29 − 24)²/24 + (11 − 16)²/16 + (43 − 48)²/48 + (37 − 32)²/32 + (48 − 48)²/48 + (32 − 32)²/32

χ² = 3.906

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

3.906 < 9.210

답

χ² = 3.906

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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