심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

조작적 정의(조작화)란 무엇입니까?

A참가자에게 지시를 주는 것
B통계 검정을 선택하는 것
C병원 같은 실제 현장에서 연구를 수행하는 것
D변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것

2.심리학 연구 방법어려움

한 자기보고 척도에서 많은 진술에 동의하는 사람이 내용과 관계없이 높은 점수를 받는다는 것이 발견됩니다. 이것은 어떤 반응 편향이며 어떻게 줄일 수 있습니까?

A순서 효과, 참가자를 역균형화한다
B요구 특성, 이중맹검 설계를 사용한다
C사회적 바람직성 편향, 더 큰 표본을 사용한다
D묵종 편향, 역문항을 포함한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 60, 57, 50, 52, 36, 36.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 72.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 10x = 72.5

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 2번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 2

P =

6.확률어려움

부품 6개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.7로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.7

P =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 175.9에서 181.85 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 175.9x₂ = 181.85

P =

8.정규분포어려움

봉지 무게은(는) 평균 250 g, 표준편차 5 g인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 25%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 60대, 평균 83.5 h, 알려진 표준 편차 7 h. 모델 2: 휴대전화 80대, 평균 90 h, 알려진 표준 편차 17 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 60x̄₁ = 83.5 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 90 hσ₂ = 17 h90%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 16입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 16E = 1.590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 202.1, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 202.1s = 5n = 25

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 95%로 검출해야 한다. 표준 편차는 20이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 95%δ = 5σ = 20z_α = 2.326z_β = 1.645

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5.5, 58)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5.5, 58)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 6

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것

이것이 답인 이유

변수를 조작화하면 추상적인 개념이 구체적인 측정으로 바뀌어 연구를 반복할 수 있게 됩니다.

답

D · 변수를 정확하고 측정 가능한 방식으로 정의하는 것

2.심리학 연구 방법

답: D · 묵종 편향, 역문항을 포함한다

이것이 답인 이유

묵종은 문항에 동의하는 경향입니다. 긍정 문항과 부정 문항을 섞으면 모든 것에 동의해도 더 이상 극단 점수가 나오지 않습니다.

답

D · 묵종 편향, 역문항을 포함한다

3.기술통계

답: s = 10.31

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 291/6 = 48.5

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 11.5² + 8.5² + 1.5² + 3.5² + (−12.5)² + (−12.5)² = 531.5

표준편차

s = √(531.5/5) = 10.31

답

s = 10.31

4.기술통계

답: P = 0.1056

표준화하기

z = 1.25

표준정규분포표

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

답

P = 0.1056

5.확률

답: P = 0.3056

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

답

P = 0.3056

6.확률

답: P = 0.01094

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.3⁶ = 0.000729

P(X = 1) = 6·0.7·0.3⁵ = 0.01021

더하기

P = 0.000729 + 0.01021 = 0.01094

답

P = 0.01094

7.정규분포

답: P = 0.3268

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (175.9 − 178)/7 = −0.3

z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

사이의 넓이

P = Φ(0.55) − Φ(−0.3) = 0.7088 − 0.3821 = 0.3268

답

P = 0.3268

8.정규분포

답: x = 246.7 g

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 250 − 0.67·5 = 246.7 g

답

x = 246.7 g

9.신뢰구간

답: 하한 = −9.962 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 83.5 − 90 = −6.5

표준오차

SE = √(7²/60 + 17²/80) = 2.105

오차 한계

E = 1.645·2.105 = 3.462

구간

−6.5 ± 3.462 → [−9.962, −3.038]

답

하한 = −9.962 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: n = 308

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·16/1.5)² = 307.9

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 308

답

n = 308

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

검정통계량

t = (202.1 − 200)/1 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 253

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 1.645)·20/5)² = 252.3

올림하기

n = 253

답

n = 253

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9583

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 83/6 = 13.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 184.8

상관계수

r = −54.5/√(17.5·184.8) = −0.9583

답

r = −0.9583

14.선형 회귀와 상관

답: e = 3.5

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 327/6 = 54.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88.5

회귀직선

b = 88.5/17.5 = 5.057

a = 54.5 − 5.057·5.5 = 26.69

ŷ = 26.69 + 5.057·x

예측값

ŷ = 26.69 + 5.057·5.5 = 54.5

잔차

e = 58 − 54.5 = 3.5

답

e = 3.5

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 37.33

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 100·84/140 = 60, 100·56/140 = 40

비흡연자: 40·84/140 = 24, 40·56/140 = 16

카이제곱 통계량

χ² = (76 − 60)²/60 + (24 − 40)²/40 + (8 − 24)²/24 + (32 − 16)²/16

χ² = 37.33

답

χ² = 37.33

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 4

자유도

df = 6 − 1 − 1 = 4

답

df = 4

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