열역학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

에너지 수지

현열: Q = ṁ·c_p·ΔT
잠열: Q = ṁ·h_fg
혼합: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
물: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

가스 동력 사이클

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2연습 문제

1.이상 기체 법칙보통

부피 30 L인 탱크에 15 °C의 CH₄ 110 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 110 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.이상 기체 법칙어려움

일정량의 CO₂이(가) 350 kPa, 10 L, 25 °C에서 600 kPa, 60 °C(으)로 변한다. 새 부피 V₂을(를) 구하시오.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 25 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

3.에너지 수지보통

뜨거운 에탄올이(가) 열손실 없는 대향류 열교환기에서 물을 냉각한다. 물의 출구 온도 t_out을(를) 구하시오.

ṁ_h = 1 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 90 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.에너지 수지어려움

뜨거운 에탄올이(가) 열교환기에서 물을 가열하는데, 이 열교환기는 고온 흐름이 내놓은 열의 5%를 주위로 잃는다. 필요한 물의 유량 ṁ_c을(를) 구하시오.

ṁ_h = 2 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 150 °Ct: 15 → 65 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)손실 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.열기관과 냉동기보통

열기관이 350 °C의 열원에서 열을 받고 35 °C의 주위로 열을 방출한다. 실제 열효율은 20%이다. 실제 효율과 카르노 효율의 비인 제2법칙 효율 η_II을(를) 구하시오.

T_H = 350 °CT_L = 35 °Cη = 20%

η_II = %

6.열기관과 냉동기어려움

열기관이 사이클마다 700 °C의 열저장소에서 3600 kJ의 열을 받아 1512 kJ의 일을 하고 나머지를 25 °C의 열저장소로 방출한다. 사이클당 총 엔트로피 생성량 S_gen을(를) 구하시오.

T_H = 700 °CT_L = 25 °CQ_H = 3600 kJW = 1512 kJ

S_gen = kJ/K

7.가스 동력 사이클보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 14, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 2이다. 압축 시작 시 공기는 295 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 가열이 끝날 때의 온도 T₃을(를) K 단위로 구하시오.

r = 14r_c = 2T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

8.가스 동력 사이클어려움

가스 터빈 발전소가 압축기 압력비 16인 브레이턴 사이클로 운전된다. 공기는 310 K로 압축기에, 1300 K로 터빈에 들어간다. 압축기의 등엔트로피 효율은 82%, 터빈은 92%이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w_net을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r_p = 16T₁ = 310 KT₃ = 1300 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3용액

1.이상 기체 법칙

답: P = 547.6 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 110/16.04 = 6.858 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

압력

P = nRT/V = 6.858·8.314·288.1/0.03 = 547.6 kPa

답

P = 547.6 kPa

2.이상 기체 법칙

답: V₂ = 6.518 L

보일-샤를 법칙: 일정량의 이상 기체에서 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

절대 온도

T₁ = 298.1 K, T₂ = 333.1 K

보일-샤를 법칙

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/600)·(333.1/298.1) = 6.518 L

답

V₂ = 6.518 L

3.에너지 수지

답: t_out = 66.7 °C

열교환기 에너지 수지: 손실이 없으면 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

고온 흐름이 내놓은 열

Q = 1·2.44·(130 − 90) = 97.6 kW

물이 받은 열

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 97.6/(0.5·4.18) = 66.7 °C

답

t_out = 66.7 °C

4.에너지 수지

답: ṁ_c = 0.6655 kg/s

손실이 있는 에너지 수지: 방출 열 = 흡수 열 + 손실 열.

방출 열

Q_h = 2·2.44·(180 − 150) = 146.4 kW

물에 전달되는 열

Q_c = (1 − 0.05)·146.4 = 139.1 kW

물의 유량

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 139.1/(4.18·50) = 0.6655 kg/s

답

ṁ_c = 0.6655 kg/s

5.열기관과 냉동기

답: η_II = 39.57 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

카르노 효율

η_Carnot = 1 − 308.1/623.1 = 50.55 %

제2법칙 효율

η_II = η/η_Carnot = 20/50.55 = 39.57 %

답

η_II = 39.57 %

6.열기관과 냉동기

답: S_gen = 3.304 kJ/K

엔트로피 생성: 한 사이클 전체에서 작동 유체의 순 엔트로피 변화는 없습니다. 고온 열저장소는 Q_H/T_H를 잃고 저온 열저장소는 Q_L/T_L을 얻습니다. 그 합이 엔트로피 생성량이며, 가역 사이클에서는 0, 모든 실제 사이클에서는 양수입니다.

방출열

Q_L = Q_H − W = 3600 − 1512 = 2088 kJ

절대 온도

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

열저장소의 엔트로피 변화

ΔS_H = −3600/973.1 = −3.699 kJ/K

ΔS_L = 2088/298.1 = 7.003 kJ/K

S_gen = 7.003 − 3.699 = 3.304 kJ/K

답

S_gen = 3.304 kJ/K

S_gen > 0이므로 이 기관은 가능하지만 비가역입니다.

7.가스 동력 사이클

답: T₃ = 1696 K

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

압축 종료 시

T₂ = 295·14^0.4 = 847.8 K

정압 가열

T₃ = r_c·T₂ = 2·847.8 = 1696 K

답

T₃ = 1696 K

8.가스 동력 사이클

답: w_net = 198.6 kJ/kg

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.

등엔트로피 온도

T_2s = 310·16^0.2857 = 684.5 K

T_4s = 1300/16^0.2857 = 588.7 K

압축기 일과 터빈 일

w_c = 1.005·(684.5 − 310)/0.82 = 459 kJ/kg

w_t = 0.92·1.005·(1300 − 588.7) = 657.6 kJ/kg

순일

w_net = 657.6 − 459 = 198.6 kJ/kg

답

w_net = 198.6 kJ/kg

역일비: w_c/w_t = 69.8%.

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