열역학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

에너지 수지

현열: Q = ṁ·c_p·ΔT
잠열: Q = ṁ·h_fg
혼합: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
물: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

가스 동력 사이클

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2연습 문제

1.이상 기체 법칙보통

100 kPa, 40 °C에서 CH₄ 250 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 250 gM = 16.04 g/molP = 100 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.이상 기체 법칙어려움

1000 kPa, 140 °C에서 He의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 4.003 g/molP = 1000 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.에너지 수지보통

뜨거운 에탄올이(가) 열손실 없는 대향류 열교환기에서 물을 냉각한다. 물의 출구 온도 t_out을(를) 구하시오.

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 180 → 90 °Cṁ_c = 1 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.에너지 수지어려움

뜨거운 에탄올이(가) 열교환기에서 물을 가열하는데, 이 열교환기는 고온 흐름이 내놓은 열의 10%를 주위로 잃는다. 필요한 물의 유량 ṁ_c을(를) 구하시오.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 60 °Ct: 25 → 55 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)손실 = 10 %

ṁ_c = kg/s

5.열기관과 냉동기보통

열기관이 725 °C의 고온 열원과 15 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 4000 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 725 °CT_L = 15 °CQ_H = 4000 kJ

W_max = kJ

6.열기관과 냉동기어려움

열기관이 사이클마다 700 °C의 열저장소에서 2400 kJ의 열을 받아 840 kJ의 일을 하고 나머지를 20 °C의 열저장소로 방출한다. 사이클당 총 엔트로피 생성량 S_gen을(를) 구하시오.

T_H = 700 °CT_L = 20 °CQ_H = 2400 kJW = 840 kJ

S_gen = kJ/K

7.가스 동력 사이클보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 19, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 2이다. 압축 시작 시 공기는 300 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 가열이 끝날 때의 온도 T₃을(를) K 단위로 구하시오.

r = 19r_c = 2T₁ = 300 Kk = 1.4

T₃ = K

8.가스 동력 사이클어려움

가스 터빈 발전소가 압축기 압력비 16인 브레이턴 사이클로 운전된다. 공기는 300 K로 압축기에, 1400 K로 터빈에 들어간다. 두 기계 모두 등엔트로피 과정이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w_net을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r_p = 16T₁ = 300 KT₃ = 1400 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3용액

1.이상 기체 법칙

답: V = 405.8 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 250/16.04 = 15.59 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

부피

V = nRT/P = 15.59·8.314·313.1/100 = 405.8 L

답

V = 405.8 L

2.이상 기체 법칙

답: ρ = 1.165 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

밀도

ρ = 1000·4.003/(8.314·413.1) = 1.165 kg/m³

답

ρ = 1.165 kg/m³

3.에너지 수지

답: t_out = 98.8 °C

열교환기 에너지 수지: 손실이 없으면 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

고온 흐름이 내놓은 열

Q = 1.5·2.44·(180 − 90) = 329.4 kW

물이 받은 열

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 329.4/(1·4.18) = 98.8 °C

답

t_out = 98.8 °C

4.에너지 수지

답: ṁ_c = 3.152 kg/s

손실이 있는 에너지 수지: 방출 열 = 흡수 열 + 손실 열.

방출 열

Q_h = 3·2.44·(120 − 60) = 439.2 kW

물에 전달되는 열

Q_c = (1 − 0.1)·439.2 = 395.3 kW

물의 유량

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 395.3/(4.18·30) = 3.152 kg/s

답

ṁ_c = 3.152 kg/s

5.열기관과 냉동기

답: W_max = 2845 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/998.1 = 71.13 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.7113·4000 = 2845 kJ

답

W_max = 2845 kJ

6.열기관과 냉동기

답: S_gen = 2.855 kJ/K

엔트로피 생성: 한 사이클 전체에서 작동 유체의 순 엔트로피 변화는 없습니다. 고온 열저장소는 Q_H/T_H를 잃고 저온 열저장소는 Q_L/T_L을 얻습니다. 그 합이 엔트로피 생성량이며, 가역 사이클에서는 0, 모든 실제 사이클에서는 양수입니다.

방출열

Q_L = Q_H − W = 2400 − 840 = 1560 kJ

절대 온도

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

열저장소의 엔트로피 변화

ΔS_H = −2400/973.1 = −2.466 kJ/K

ΔS_L = 1560/293.1 = 5.322 kJ/K

S_gen = 5.322 − 2.466 = 2.855 kJ/K

답

S_gen = 2.855 kJ/K

S_gen > 0이므로 이 기관은 가능하지만 비가역입니다.

7.가스 동력 사이클

답: T₃ = 1948 K

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

압축 종료 시

T₂ = 300·19^0.4 = 974.1 K

정압 가열

T₃ = r_c·T₂ = 2·974.1 = 1948 K

답

T₃ = 1948 K

8.가스 동력 사이클

답: w_net = 405.6 kJ/kg

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.

등엔트로피 온도

T₂ = 300·16^0.2857 = 662.5 K

T₄ = 1400/16^0.2857 = 634 K

압축기 일과 터빈 일

w_c = 1.005·(662.5 − 300) = 364.3 kJ/kg

w_t = 1.005·(1400 − 634) = 769.8 kJ/kg

순일

w_net = 769.8 − 364.3 = 405.6 kJ/kg

답

w_net = 405.6 kJ/kg

역일비: w_c/w_t = 47.32%.

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