열역학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

에너지 수지

현열: Q = ṁ·c_p·ΔT
잠열: Q = ṁ·h_fg
혼합: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
물: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

가스 동력 사이클

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2연습 문제

1.이상 기체 법칙보통

200 kPa, 45 °C에서 CH₄ 260 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 260 gM = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.이상 기체 법칙어려움

200 kPa, 40 °C에서 CH₄의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.에너지 수지보통

뜨거운 경유이(가) 열손실 없는 대향류 열교환기에서 물을 냉각한다. 물의 출구 온도 t_out을(를) 구하시오.

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 130 → 60 °Cṁ_c = 0.5 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 30 °C

t_out = °C

4.에너지 수지어려움

뜨거운 에탄올이(가) 열교환기에서 물을 가열하는데, 이 열교환기는 고온 흐름이 내놓은 열의 15%를 주위로 잃는다. 필요한 물의 유량 ṁ_c을(를) 구하시오.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 160 → 60 °Ct: 15 → 70 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)손실 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.열기관과 냉동기보통

가역(카르노) 열기관이 사이클마다 600 °C의 열저장소에서 2200 kJ의 열을 받고 701 kJ를 방출한다. 저온 열저장소의 온도 T_L을(를) °C로 구하시오.

T_H = 600 °CQ_H = 2200 kJQ_L = 701 kJ

T_L = °C

6.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 2 °C의 열원에서 열을 흡수해 20 °C의 난방 시스템에 18 kW의 열을 공급한다. 실제 COP는 이 두 온도 사이의 카르노 COP의 35%이다. 소비하는 전력 Ẇ을(를) 구하시오.

T_H = 20 °CT_L = 2 °Cη_II = 35%Q̇_H = 18 kW

Ẇ = kW

7.가스 동력 사이클보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 18, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 3이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 열효율 η을(를) 퍼센트로 구하시오.

r = 18r_c = 3k = 1.4

η = %

8.가스 동력 사이클어려움

가스 터빈 발전소가 압축기 압력비 10인 브레이턴 사이클로 운전된다. 공기는 288 K로 압축기에, 1100 K로 터빈에 들어간다. 두 기계 모두 등엔트로피 과정이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w_net을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r_p = 10T₁ = 288 KT₃ = 1100 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3용액

1.이상 기체 법칙

답: V = 214.4 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 260/16.04 = 16.21 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

부피

V = nRT/P = 16.21·8.314·318.1/200 = 214.4 L

답

V = 214.4 L

2.이상 기체 법칙

답: ρ = 1.232 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

밀도

ρ = 200·16.04/(8.314·313.1) = 1.232 kg/m³

답

ρ = 1.232 kg/m³

3.에너지 수지

답: t_out = 65.17 °C

열교환기 에너지 수지: 손실이 없으면 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

고온 흐름이 내놓은 열

Q = 0.5·2.1·(130 − 60) = 73.5 kW

물이 받은 열

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 30 + 73.5/(0.5·4.18) = 65.17 °C

답

t_out = 65.17 °C

4.에너지 수지

답: ṁ_c = 2.706 kg/s

손실이 있는 에너지 수지: 방출 열 = 흡수 열 + 손실 열.

방출 열

Q_h = 3·2.44·(160 − 60) = 732 kW

물에 전달되는 열

Q_c = (1 − 0.15)·732 = 622.2 kW

물의 유량

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 622.2/(4.18·55) = 2.706 kg/s

답

ṁ_c = 2.706 kg/s

5.열기관과 냉동기

답: T_L = 5.067 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

열원의 절대 온도

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

가역 사이클의 열 비

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 873.1·701/2200 = 278.2 K = 5.067 °C

답

T_L = 5.067 °C

6.열기관과 냉동기

답: Ẇ = 3.158 kW

절대 온도

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

카르노 COP와 실제 COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

COP = 0.35·16.29 = 5.7

입력 동력

Ẇ = Q̇_H/COP = 18/5.7 = 3.158 kW

답

Ẇ = 3.158 kW

7.가스 동력 사이클

답: η = 58.91 %

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

단절비 항

(3^1.4 − 1)/(1.4·(3 − 1)) = 1.306

열효율

η = 1 − 0.3147·1.306 = 58.91%

답

η = 58.91%

8.가스 동력 사이클

답: w_net = 263.5 kJ/kg

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.

등엔트로피 온도

T₂ = 288·10^0.2857 = 556 K

T₄ = 1100/10^0.2857 = 569.7 K

압축기 일과 터빈 일

w_c = 1.005·(556 − 288) = 269.4 kJ/kg

w_t = 1.005·(1100 − 569.7) = 532.9 kJ/kg

순일

w_net = 532.9 − 269.4 = 263.5 kJ/kg

답

w_net = 263.5 kJ/kg

역일비: w_c/w_t = 50.55%.

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