열역학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

에너지 수지

현열: Q = ṁ·c_p·ΔT
잠열: Q = ṁ·h_fg
혼합: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
물: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

가스 동력 사이클

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2연습 문제

1.이상 기체 법칙보통

부피 20 L인 탱크에 20 °C의 CO₂ 200 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 200 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

2.이상 기체 법칙어려움

400 kPa, 130 °C에서 N₂의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 28.01 g/molP = 400 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.에너지 수지보통

뜨거운 에탄올이(가) 열손실 없는 대향류 열교환기에서 물을 냉각한다. 물의 출구 온도 t_out을(를) 구하시오.

ṁ_h = 0.5 kg/sc_p,h = 2.44 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 15 °C

t_out = °C

4.에너지 수지어려움

뜨거운 경유이(가) 열교환기에서 물을 가열하는데, 이 열교환기는 고온 흐름이 내놓은 열의 5%를 주위로 잃는다. 필요한 물의 유량 ṁ_c을(를) 구하시오.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 2.1 kJ/(kg·K)T_h: 140 → 100 °Ct: 25 → 70 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)손실 = 5 %

ṁ_c = kg/s

5.열기관과 냉동기보통

열기관이 525 °C의 고온 열원과 20 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 2100 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 525 °CT_L = 20 °CQ_H = 2100 kJ

W_max = kJ

6.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 10 °C의 열원에서 열을 흡수해 35 °C의 난방 시스템에 5.5 kW의 열을 공급한다. 실제 COP는 이 두 온도 사이의 카르노 COP의 45%이다. 소비하는 전력 Ẇ을(를) 구하시오.

T_H = 35 °CT_L = 10 °Cη_II = 45%Q̇_H = 5.5 kW

Ẇ = kW

7.가스 동력 사이클보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 22, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 1.8이다. 압축 시작 시 공기는 300 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 가열이 끝날 때의 온도 T₃을(를) K 단위로 구하시오.

r = 22r_c = 1.8T₁ = 300 Kk = 1.4

T₃ = K

8.가스 동력 사이클어려움

가스 터빈 발전소가 압축기 압력비 14인 브레이턴 사이클로 운전된다. 공기는 290 K로 압축기에, 1300 K로 터빈에 들어간다. 두 기계 모두 등엔트로피 과정이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w_net을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r_p = 14T₁ = 290 KT₃ = 1300 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3용액

1.이상 기체 법칙

답: P = 553.8 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 200/44.01 = 4.544 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

압력

P = nRT/V = 4.544·8.314·293.1/0.02 = 553.8 kPa

답

P = 553.8 kPa

2.이상 기체 법칙

답: ρ = 3.343 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

밀도

ρ = 400·28.01/(8.314·403.1) = 3.343 kg/m³

답

ρ = 3.343 kg/m³

3.에너지 수지

답: t_out = 17.92 °C

열교환기 에너지 수지: 손실이 없으면 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

고온 흐름이 내놓은 열

Q = 0.5·2.44·(120 − 90) = 36.6 kW

물이 받은 열

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 15 + 36.6/(3·4.18) = 17.92 °C

답

t_out = 17.92 °C

4.에너지 수지

답: ṁ_c = 1.273 kg/s

손실이 있는 에너지 수지: 방출 열 = 흡수 열 + 손실 열.

방출 열

Q_h = 3·2.1·(140 − 100) = 252 kW

물에 전달되는 열

Q_c = (1 − 0.05)·252 = 239.4 kW

물의 유량

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 239.4/(4.18·45) = 1.273 kg/s

답

ṁ_c = 1.273 kg/s

5.열기관과 냉동기

답: W_max = 1329 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/798.1 = 63.27 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.6327·2100 = 1329 kJ

답

W_max = 1329 kJ

6.열기관과 냉동기

답: Ẇ = 0.9916 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

카르노 COP와 실제 COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 283.1) = 12.33

COP = 0.45·12.33 = 5.547

입력 동력

Ẇ = Q̇_H/COP = 5.5/5.547 = 0.9916 kW

답

Ẇ = 0.9916 kW

7.가스 동력 사이클

답: T₃ = 1859 K

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

압축 종료 시

T₂ = 300·22^0.4 = 1033 K

정압 가열

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·1033 = 1859 K

답

T₃ = 1859 K

8.가스 동력 사이클

답: w_net = 363.8 kJ/kg

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.

등엔트로피 온도

T₂ = 290·14^0.2857 = 616.4 K

T₄ = 1300/14^0.2857 = 611.6 K

압축기 일과 터빈 일

w_c = 1.005·(616.4 − 290) = 328 kJ/kg

w_t = 1.005·(1300 − 611.6) = 691.8 kJ/kg

순일

w_net = 691.8 − 328 = 363.8 kJ/kg

답

w_net = 363.8 kJ/kg

역일비: w_c/w_t = 47.42%.

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