열역학 1: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

에너지 수지

현열: Q = ṁ·c_p·ΔT
잠열: Q = ṁ·h_fg
혼합: Σṁc_pT_in = Σṁc_pT_out
물: c_p ≈ 4.18 kJ/(kg·K)

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

가스 동력 사이클

등엔트로피 과정, 부피비: T₂/T₁ = r^k−1
등엔트로피 과정, 압력비: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
오토 사이클 효율: η = 1 − 1/r^k−1
디젤 사이클 효율: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
브레이턴 사이클 효율: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
공급 열량: 오토: c_v(T₃ − T₂) 디젤, 브레이턴: c_p(T₃ − T₂)
브레이턴 사이클 순일: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
등엔트로피 효율: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
냉공기 표준: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

2연습 문제

1.이상 기체 법칙보통

250 kPa, 20 °C에서 CH₄ 470 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 470 gM = 16.04 g/molP = 250 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

2.이상 기체 법칙어려움

200 kPa, 0 °C에서 CH₄의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 16.04 g/molP = 200 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

3.에너지 수지보통

뜨거운 글리콜 혼합액이(가) 열손실 없는 대향류 열교환기에서 물을 냉각한다. 물의 출구 온도 t_out을(를) 구하시오.

ṁ_h = 3 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Cṁ_c = 3 kg/sc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)t_in = 20 °C

t_out = °C

4.에너지 수지어려움

뜨거운 글리콜 혼합액이(가) 열교환기에서 물을 가열하는데, 이 열교환기는 고온 흐름이 내놓은 열의 15%를 주위로 잃는다. 필요한 물의 유량 ṁ_c을(를) 구하시오.

ṁ_h = 1.5 kg/sc_p,h = 3.6 kJ/(kg·K)T_h: 120 → 90 °Ct: 10 → 30 °Cc_p,c = 4.18 kJ/(kg·K)손실 = 15 %

ṁ_c = kg/s

5.열기관과 냉동기보통

열기관이 525 °C의 고온 열원과 25 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 4900 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 525 °CT_L = 25 °CQ_H = 4900 kJ

W_max = kJ

6.열기관과 냉동기어려움

카르노 열기관이 600 °C의 열원에서 100 kW의 열을 받고 27 °C의 주위로 열을 방출한다. 그 일은 모두 카르노 냉동기를 구동하며, 냉동기는 -30 °C의 냉동고에서 열을 제거하고 역시 27 °C의 주위로 열을 방출한다. 냉동고에서 열을 제거하는 비율 Q̇_L을(를) 구하시오.

T_H = 600 °CT₀ = 27 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 100 kW

Q̇_L = kW

7.가스 동력 사이클보통

이상적인 디젤 사이클의 압축비는 r = 16, 단절비는 r_c = v₃/v₂ = 2.2이다. 압축 시작 시 공기는 305 K이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 가열이 끝날 때의 온도 T₃을(를) K 단위로 구하시오.

r = 16r_c = 2.2T₁ = 305 Kk = 1.4

T₃ = K

8.가스 동력 사이클어려움

가스 터빈 발전소가 압축기 압력비 10인 브레이턴 사이클로 운전된다. 공기는 295 K로 압축기에, 1500 K로 터빈에 들어간다. 두 기계 모두 등엔트로피 과정이다. 냉공기 표준 가정을 쓴다: 공기는 비열이 일정한 이상 기체이며 k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K), c_v = 0.718 kJ/(kg·K)이다. 공기 1킬로그램당 순일 출력 w_net을(를) kJ/kg 단위로 구하시오.

r_p = 10T₁ = 295 KT₃ = 1500 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

3용액

1.이상 기체 법칙

답: V = 285.7 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 470/16.04 = 29.3 mol

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

부피

V = nRT/P = 29.3·8.314·293.1/250 = 285.7 L

답

V = 285.7 L

2.이상 기체 법칙

답: ρ = 1.413 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

밀도

ρ = 200·16.04/(8.314·273.1) = 1.413 kg/m³

답

ρ = 1.413 kg/m³

3.에너지 수지

답: t_out = 45.84 °C

열교환기 에너지 수지: 손실이 없으면 ṁ_hc_p,h(T_h,in − T_h,out) = ṁ_cc_p,c(t_out − t_in).

고온 흐름이 내놓은 열

Q = 3·3.6·(120 − 90) = 324 kW

물이 받은 열

t_out = t_in + Q/(ṁ_cc_p,c) = 20 + 324/(3·4.18) = 45.84 °C

답

t_out = 45.84 °C

4.에너지 수지

답: ṁ_c = 1.647 kg/s

손실이 있는 에너지 수지: 방출 열 = 흡수 열 + 손실 열.

방출 열

Q_h = 1.5·3.6·(120 − 90) = 162 kW

물에 전달되는 열

Q_c = (1 − 0.15)·162 = 137.7 kW

물의 유량

ṁ_c = Q_c/(c_p,c·Δt) = 137.7/(4.18·20) = 1.647 kg/s

답

ṁ_c = 1.647 kg/s

5.열기관과 냉동기

답: W_max = 3070 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 525 + 273.15 = 798.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/798.1 = 62.64 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.6264·4900 = 3070 kJ

답

W_max = 3070 kJ

6.열기관과 냉동기

답: Q̇_L = 279.9 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

기관의 일

η = 1 − 300.1/873.1 = 0.6562

Ẇ = 0.6562·100 = 65.62 kW

냉동기가 제거한 열

COP_R = 243.1/(300.1 − 243.1) = 4.266

Q̇_L = 4.266·65.62 = 279.9 kW

답

Q̇_L = 279.9 kW

7.가스 동력 사이클

답: T₃ = 2034 K

디젤 사이클(압축 점화 기관): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 등엔트로피 팽창, 4→1 정적 방열. 압축비 r = v₁/v₂, 단절비 r_c = v₃/v₂일 때 T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂), η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))입니다.

압축 종료 시

T₂ = 305·16^0.4 = 924.6 K

정압 가열

T₃ = r_c·T₂ = 2.2·924.6 = 2034 K

답

T₃ = 2034 K

8.가스 동력 사이클

답: w_net = 450.8 kJ/kg

브레이턴 사이클(가스 터빈): 1→2 등엔트로피 압축, 2→3 정압 가열, 3→4 터빈에서의 등엔트로피 팽창, 4→1 정압 방열. 압력비 r_p = P₂/P₁일 때 T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k, η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k입니다. 순일 w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. 등엔트로피 효율을 고려하면 압축기는 w_s/η_c가 필요하고 터빈은 η_t·w_s를 냅니다.

등엔트로피 온도

T₂ = 295·10^0.2857 = 569.6 K

T₄ = 1500/10^0.2857 = 776.9 K

압축기 일과 터빈 일

w_c = 1.005·(569.6 − 295) = 275.9 kJ/kg

w_t = 1.005·(1500 − 776.9) = 726.7 kJ/kg

순일

w_net = 726.7 − 275.9 = 450.8 kJ/kg

답

w_net = 450.8 kJ/kg

역일비: w_c/w_t = 37.97%.

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