Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra greitojo rikiavimo (quicksort) laiko sudėtingumas blogiausiu atveju?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl vidutiniškai paieška maišos lentelėje yra O(1), o blogiausiu atveju – O(n)?

  1. ADaug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį
  2. BMaišos funkcijos yra lėtos
  3. CRaktai pirmiausia turi būti surikiuoti
  4. DPrieiga prie masyvų yra O(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Prefiksų medis (trie) ypač efektyvus:

  1. AMatricų saugojimui
  2. BTrumpiausių kelių paieškai
  3. CPrefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
  4. DSkaičių rikiavimui
4.Duomenų struktūrosSunkus

DPM, kurio šaknis 50, kairysis pomedis 30 (vaikai 20, 40) ir dešinysis pomedis 70 (vaikai 60, 80), šaknis pašalinama naudojant in-order įpėdinį. Kuris raktas tampa nauja šaknimi?

  1. A80
  2. B60
  3. C40
  4. D70
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 43 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
2015184869ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kai atraminiai elementai nuolat parenkami blogai (pvz., jau surikiuoti duomenys ir pirmasis elementas kaip atraminis), skaidiniai būna nesubalansuoti, todėl gaunama O(n²). Vidutiniu atveju laikas yra O(n log n).

Atsakymas

A · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį

Kodėl tai yra atsakymas

Esant geros maišos funkcijai ir tinkamam užpildymo koeficientui, krepšeliai vidutiniškai lieka trumpi; piktavališkai parinkti duomenys arba prasta maišos funkcija gali sudėti visus raktus į vieną krepšelį.

Atsakymas

A · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui

Kodėl tai yra atsakymas

Trie saugo eilutes simboliais keliuose, todėl paieška ir prefiksų užklausos trunka laiką, proporcingą rakto ilgiui.

Atsakymas

C · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 60

Kodėl tai yra atsakymas

Kairiausias dešiniojo pomedžio mazgas yra 60, todėl 60 pakeičia 50, o jo senoji vieta pašalinama; naudojant pirmtaką būtų gauta 40.

Atsakymas

B · 60
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 17

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 27 = 2(L + 6) − 2
L = 17

Atsakymas

L = 17

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 33

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BD (4): imti
DE (6): imti
CE (8): imti
BE (9): praleisti, uždaro ciklą
AC (15): imti

Bendras svoris

W = 4 + 6 + 8 + 15 = 33

Atsakymas

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms