Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Turint 1, 3 ir 4 vertės monetas ir 6 sumą, kiek monetų panaudoja godusis metodas „pirmiausia didžiausia moneta“, palyginti su optimaliu sprendiniu?

  1. AGodusis panaudoja 4 monetas; optimalus sprendinys – 3
  2. BGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
  3. CGodusis panaudoja 2 monetas; optimalus sprendinys – 2
  4. DGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 3
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris iš šių įvykdomumo uždavinių, kaip žinoma, išsprendžiamas per polinominį laiką?

  1. ABendrasis SAT konjunkcinės normaliosios formos formulėms
  2. B3-SAT, kai kiekviename disjunkte yra lygiai trys literalai
  3. CLoginės schemos įvykdomumas
  4. D2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

  1. ANeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
  2. BPadaryti sąrašą surikiuotą
  3. CSaugoti elementų skaičių
  4. DSupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?

  1. AAukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
  2. BAukštis ne didesnis kaip log2 n + 1
  3. CAukštis lygiai log2 n
  4. DAukštis ne didesnis kaip n / 2
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 54 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1510191213156ABCDEFG

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 4 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis metodas paima 4 + 1 + 1 = 3 monetas, bet 3 + 3 panaudoja tik 2, todėl šiai monetų sistemai godusis metodas nėra optimalus; dinaminis programavimas – optimalus.

Atsakymas

B · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai

Kodėl tai yra atsakymas

2-SAT priklauso P (tiesinis laikas per stipriai jungias komponentes), o 3-SAT yra NP-pilnas.

Atsakymas

D · 2-SAT, kai kiekviename disjunkte yra daugiausia du literalai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

D · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).

Atsakymas

A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 14

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Atsakymas

L = 14

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: E

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 15, C: 10
2. C (10): B: 11, E: 19
3. B (11): G: 26
4. E (19): D: 31, F: 22, G: 25
5. F (22): D: 23
6. D (23)
7. G (25)

etapas 4

E

Atsakymas

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms