Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Dinaminis programavimas naudingas, kai uždavinys turi:

  1. AVisai jokių poproblemių, todėl jį galima išspręsti vienu žingsniu
  2. BVieną ciklą
  3. CTik atsitiktinius įvesties duomenis
  4. DPersidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + n log n sprendinys?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą vykdoma programa naudoja aktyviems funkcijų kvietimams ir jų lokaliesiems kintamiesiems sekti?

  1. AFunkcijų maišos lentelę
  2. BKvietimų steką
  3. CRėmelių dvejetainį paieškos medį
  4. DDinaminės atminties (heap) eilę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Raktai 5, 3, 8, 1 šia tvarka įterpiami į tuščią masyvu grįstą dvejetainę min krūvą. Koks galutinis masyvas?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K8? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K8
H =
6.Grafų teorijaSunkus
226581114118ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D
d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą

Kodėl tai yra atsakymas

Persidengiančių poproblemių rezultatų įsiminimas (memoizacija arba lentelių sudarymas) leidžia išvengti pakartotinio darbo ir paverčia eksponentinius algoritmus polinominiais.

Atsakymas

D · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(n log² n)

Kodėl tai yra atsakymas

k-asis lygmuo atlieka apie n log(n / 2ᵏ) darbo, o susumavus per log n lygmenų gaunama Θ(n log² n) – tai išplėstinis antrasis pagrindinės teoremos atvejis.

Atsakymas

B · Θ(n log² n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kvietimų steką

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas kvietimas įdeda steko rėmelį, o kiekvienas grįžimas jį išima, todėl naujausias kvietimas baigiasi pirmas.

Atsakymas

B · Kvietimų steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · [1, 3, 8, 5]

Kodėl tai yra atsakymas

Po 5, 3, 8 masyvas yra [3, 5, 8]; 1 patenka į indeksą 3, susikeičia su tėvu 5, o tada su 3, todėl gaunama [1, 3, 8, 5].

Atsakymas

B · [1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 2520

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Atsakymas

H = 2520
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 8

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 2, C: 2
B (2): D: 8, G: 3
C (2): E: 7
G (3)
E (7)
D (8): F: 9
F (9)

Trumpiausias kelias

A → B → D
d(D) = 8

Atsakymas

d(D) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms