Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris rikiavimo algoritmas yra stabilus?

  1. ARikiavimas išrinkimu (įprasta versija)
  2. BRikiavimas suliejimu
  3. CRikiavimas krūva
  4. DGreitasis rikiavimas (įprasta versija vietoje)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

  1. AJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
  2. BJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus
  3. CPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
  4. DJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka L ilgio žodžio paieška Trie medyje su fiksuota abėcėle?

  1. AO(log n), kur n yra žodžių skaičius
  2. BO(L × n)
  3. CO(n), kur n yra žodžių skaičius
  4. DO(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūrosSunkus

Iš n skaičių srauto reikia išlaikyti k mažiausių reikšmių naudojant O(k) atminties. Kuris būdas veikia per O(n log k)?

  1. AMin krūva, laikanti visas n reikšmių, iš kurios pabaigoje išimama k mažiausių
  2. BVisų n reikšmių surikiuotas masyvas
  3. Ck dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
  4. DPaskutinių k reikšmių FIFO eilė
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 14 viršūnių ir 23 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 14|E| = 23
k =
6.Grafų teorijaSunkus
49210135163ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Rikiavimas suliejimu

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas suliejimu yra stabilus, jei esant lygiems raktams suliejant pirmiausia imamas elementas iš kairiosios pusės. Greitasis rikiavimas vietoje, rikiavimas krūva ir rikiavimas išrinkimu paprastai nėra stabilūs.

Atsakymas

B · Rikiavimas suliejimu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

C · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas simbolis parenka vieną vaiką, todėl paieška užtrunka L žingsnių, kad ir kiek žodžių būtų Trie medyje.

Atsakymas

D · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei

Kodėl tai yra atsakymas

Max krūvos šaknis yra didžiausia laikoma reikšmė; bet kuri mažesnė nauja reikšmė ją pakeičia per O(log k), todėl krūvoje visada yra k mažiausių iki šiol reikšmių.

Atsakymas

C · k dydžio max krūva, kurios šaknis pakeičiama atėjus mažesnei reikšmei
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

14 − 1 = 13

Pašalintinos briaunos

k = 23 − 13 = 10

Atsakymas

k = 10
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 30

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BC (2): imti
BE (3): imti
AB (4): imti
DE (5): imti
AC (9): praleisti, uždaro ciklą
BD (10): praleisti, uždaro ciklą
CE (13): praleisti, uždaro ciklą
EF (16): imti

Bendras svoris

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 16 = 30

Atsakymas

W = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms